第六章 随机稳定性与随机分岔 非线性随机动力学教案.doc

第六章 随机稳定性与随机分岔 第三至第五章叙述预测耗散的Hamilton系统的随机响应的定量方法，本章叙述拟Hamilton系统的定性性质，主要是稳定性与分岔。先介绍随机稳定性与随机分岔的基本概念、基本方法及基本结果，然后论述拟Hamilton系统最大Lyapunov指数的计算方法与概率为1渐近稳定性，基于平均Hamilton过程边界类别判定拟不可积Hamilton系统概率渐近稳定性与随机Hopf分岔，以及拟Hamilton系统的同（异）宿轨道的随机分岔。 6.1 随机稳定性与随机分岔概述 6.1.1 随机稳定性 随机稳定性理论研究当初值偏离平衡状态或平稳状态时，随机动力学系统之解与该平衡位置或平稳状态间的距离在半无限时间区间上是否有界以及在时解是否收敛于该平衡位置或平稳状态。由于一个随机动力学系统的平衡位置或平稳解的稳定性总可化为另一个随机动力学系统平凡解的稳定性，随机稳定性理论总研究随机动力学系统平凡解的稳定性。 考虑随机微分方程 （6.1-1） 式中为维矢量随机过程；为维矢量值函数；为维矩阵值函数；为维随机过程。设是 （6.1-1）的平凡解，这要求 （6.1-2）是（6.1-1）的乘性激励（参激）。解偏离平凡解的距离用范数表示，常用的几种范数定义为 （6.1-3a） （6.1-3b） （6.1-3c）为某正定矩阵的元素。显然，为随机过程。鉴于随机过程的有界性与收敛性可有多种方式定义，随机稳定性有多种定义[1,2]，下面只给出其中的三种。以记时初值为的系统（6.1-1）之解。 概率为1（Lyapunov）稳定性 若对任意，有 （6.1-4） 则称（6.1-1）之平凡解以概率为1（Lyapunov）稳定或几乎必然（样本）稳定。其意义为，从出发的（6.1-1）解过程的样本保持在平凡解的任意规定邻域内的概率在时趋于1. 概率为1（Lyapunov）渐近稳定性 若（6.1-4）成立，且 （6.1-5） 则称（6.1-1）之平凡解以概率为1（Lyapunov）渐近稳定或几乎必然（样本）渐近稳定。 由于（6.1-4）与（6.1-5）只在时成立，上述稳定性是局部概率为1稳定性。若代之以有限而（6.1-4）、（6.1-5）仍成立，则称它们为大范围概率为1稳定性。若可为维空间任意点而（6.1-4）、（6.1-5）成立，则它们是全局概率为1稳定性。对线性随机系统，这三种稳定性等价。顺便说明，概率为1稳定性是Kushner[3]的术语，Khasminskii[4]称之为概率意义上的稳定性。 概率稳定性 若对任意、0,存在，使得当时，有 （6.1-6） 则称（6.1-1）之平凡解为概率稳定。 概率渐近稳定性 若（6.1-6）成立，且对任意，存在，使得当时，有 （6.1-7） 则称（6.1-1）之平凡解概率渐近稳定。 阶平均稳定性 若对任意，存在，使得当时，有 ， （6.1-8） 则称（6.1-1）之平凡解为阶平均稳定。时称为平均稳定，时称为均方稳定。 阶平均渐近稳定性 若（6.1-8）成立，且存在，使得当时，有 ， （6.1-9） 则称（6.1-1）之平凡解为阶平均渐近稳定。 在（6.1-4）、（6.1-5）中，所考虑的是（6.1-1）解过程之范数在半无限时间区间的上确界这个随机变量的概率，对不同的样本函数，它的范数到达上确界的时刻是不同的，因此，（6.1-4）、（6.1-5）所定义的稳定性是一种样本稳定性。实际上，（6.1-4）、（6.1-5）表明，（6.1-1）解过程的几乎所有样本都是Lyapunov稳定与渐近稳定的。在（6.1-6）-（6.1-9）中，所考察的是（6.1-1）解过程在某一时刻上的概率与阶矩，因此，概率稳定性与阶平均稳定性不是样本稳定性。一般说来，概率为1稳定性强于概率稳定性，但对线性随机动力学系统，两者等价。阶平均稳定性强于概率稳定性。概率为1稳定性与阶平均稳定性之间关系较为复杂，对线性随机动力学系统，均方稳定性强于概率为1稳定性。对线性随机动力学系统，Kozin与Sugimoto[5]证明，参数空间中概率为1稳定区是阶平均稳定区在时的极限。概率为1稳定性是Lyapunov稳定性在随机系统中的推广，最为自然合理，研究得最多。 （6.1-1）中可为平稳遍历过程（实噪声），亦可为Guass白噪声。对前一种情形的概率为1渐近稳定性，迄今只得到线性系统（主要是二维）一些稳定性的充分条件，这方面的研究成果已在Lin与Cai的专著[6]中作了概括。对It?随机微分方程的概率为1稳定性，存在若干定理[4]，据此可用Lyapunov函数判定稳定性，主要困难在于构造Lyapun