第二章 扩散过程 非线性随机动力学课件.doc

第二章 扩散过程 非线性系统在Gauss白噪声激励下的响应是扩散的Markov过程，简称扩散过程。系统的运动微分方程可模型化为或Stratonovich随机微分方程。响应的转移概率密度服从Kolmogorov方程。可以求解或Stratonovich随机微分方程得响应的样本轨道，也可以求解Kolmogorov方程得转移概率密度，进而求其他响应统计量，这就是扩散过程理论方法。本书中广泛应用这一方法。本章较深入地介绍扩散过程、Kolmogorov方程及与Stratonovich随机微分方程。 2.1 扩散过程及其概率描述 2.1.1 Markov 过程 一个连续参数连续状态的维矢量随机过程对于任意与，,若其条件概率密度满足下列关系 （2.1-1） 则称它为Markov过程，而条件概率密度称为转移概率密度。若把看成现在，看成将来，t1，…，tn-2看成过去，（2.1-1）意味着，Markov过程将来的概率特性只取决于现在的状态，而与过去的状态无关，此称无后效性。 利用联合概率密度与条件概率密度关系可证，Markov过程的n维概率密度可表示为 （2.1-2） 可知，若己知，则Markov过程的任一有限维概率密度由其转移概率密度完全确定。因此,可用（2.1-1）来定义Markov过程。 类似地，Markov过程的n维概率密度还可表为 （2.1-3） 可见，Markov过程的概率结构也可由其二维概率密度完全确定。 由（2.1-2）可看出，一个Markov过程为严格平稳的充要条件是，初始概率密度与时间无关，转移概率密度只依赖于时差，即，若令，则有 　　　　　（2.1-4） 凡其转移概率密度仅依赖于时差的Markov过程，称为时齐Markov过程，或具有平稳增量的Markov过程。显然，平稳的Markov过程必是时齐的，反之则不一定。 一个时齐Markov过程，t0时刻上具有确定性值x0，并满足条件 （2.1-5） 则其一维概率密度 （2.1-6） 意即，该Markov过程随趋于平稳，与初始状态无关。因此，平稳Markov过程可看成时齐Markov过程在时差时的极限。平稳Markov过程的概率测度称为不变测度，是它的密度。 对时齐Markov过程，（2.1-5）不仅是平稳的充分条件，也是关于均值、相关函数及概率密度遍历的充分条件[l]。 对一般随机过程与任意，由概率密度的相容性，有 （2.1-7） 对Markov过程，利用（2.1-2），则有 （2.1-8） 对时齐Markov过程，则有 （2.1-9） （2.1-8）与（2.1-9）称为方程，它是一个描述概率密度从时刻经由转移到时刻的积分方程。 注意，矢量Markov过程的分量不一定是Markov过程。此外，Markov过程在现实中并不存在，它只是一个数学模型。但是，一方面，关于Markov过程的数学理论内容丰富，另一方面，现实中有许多过程，它们的记忆时间足够短，以致在我们观察的时间尺度上，可以用Markov过程来近似。因此，Markov理论已被广泛地应用。 2.1.2　扩散过程与方程 Markov过程中，理论上最成熟、应用最广泛的是扩散过程。表征与分析扩散过程有二条基本途径：一是用方程研究它的转移概率密度，二是用随机微分方程研究它的随机轨道。本节介绍前一途径，后一途径将在2.4.-2.7中叙述。 一个m维矢量Markov过程称为扩散过程，若对任意，其转移概率密度对一致地满足下列三个条件： 1. （2.1-10） 2. 存在矢量函数，使得 （2.1-11） 3. 存在矩阵函数，使得 （2.1-12） 式中表示矢量的范数。（2.1-10）表明，在无穷小时间区间上扩散过程的状态有有限变化的概率比更快地趋于零，这表明扩散过程的样本函数以概率1连续。（2.1-11）与（2.1-12）中的积分分别表示在处过程的截断均值与截断协方差的局部变化率，与分别称为漂移系数与扩散系数，a与b分别称为漂移矢量与扩散矩阵，b是对称正半定矩阵。可以证明，所有形如（2.1-12）的更高阶系数必然为零。 条件（2.1-10）-（2.1-12）可代之以 （2.1-13） （2.1-14） （2.1-15） 扩散过程又可定义为满足条件（2.1-13）-（2.1-15）的Markov过程。注意，（2.1-14）与（2.1-15）中为全矩的局部变化率，称为导数矩。关于扩散过程定义的更详细讨论见[2]。对时齐扩散过程，（2.1-11）、（2.1-14）中的与（2.1-12）、（2.1-15）中的将不显含时间t。 下面从积分方程出发推导扩散过程的转移概率密度所满足的偏微分方程。设是一个维矢量扩散过程，考虑积分 （2.1-16） 式中积分域为扩散过程的整个状态空间，为的任意函