30_1046737_高中数学必修5新教学案111正弦定理.docVIP

PAGE PAGE 1 必修5 1.1.1 正弦定理（学案） 【知识要点】 1．正弦定理 2．正弦定理的变形 【学习要求】 1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力． 【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页） 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？ （1）在中，是最大的角，所对的斜边是最大的边， 依据正弦函数定义得： . （2）在锐角中，设边上的高是，根据三角函数定义得： . （3）在钝角中，是最大的角，所对的斜边是最大的边，过点作垂直于交于点， .,即; 同理可得： ，故 2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即　　= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等面积法）在任意斜△ABC当中， S△ABC=. 两边同除以即得：= = . 法二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴ . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：== =2R（R为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法） 过A作单位向量垂直于， 由　= + . 两边同乘以单位向量 得?= . 即?+?=?. ∴ = . ∴ . ∴= . 同理，若过C作垂直于得： = ∴==. 3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)==== ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1） ； （2） ． 5. 三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论 当A为锐角 当A为直角或钝角 也可利用正弦定理sin B=进行讨论： 如果sin Bl，则问题无解； 如果sin B=l，则问题有一解；如果求出sin Bl，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC中，,则k为( )． 2R R 4R (R为△ABC外接圆半径) 2.在中，已知，则等于（ ）． 3.(2008年北京) 已知中， ，则等于（ ）． . 4. 在△ABC中，sinA＞sinB 则角 A，B的大小关系为： . 5. 在中，a:b:c=1:3:5,的值为___ __. 【典型例题】 例1 已知在解三角形. 【变式练习】已知在 例2 （1）在 （2） 【变式练习】在解三角形（角度精确到）. 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A= (2)a =9,b=l0,A= c=50,b=72,C= 例4 已知△ABC中，bsin B=csin c，且试判断三角形的形状． 例5 已知△ABC的面积为1，tanB=,tanC=-2,求△ABC的边长以及△ABC外接圆的面积. 1．在△ABC中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A）acos C= ccos A （B）bsinC= csin A （C）absin C=bcsin B （D）aslnC=csin A． 2．在△ABC中，已知a=18，b=20，A=，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A）有一个解 （B）有两个解 （C）无解 （D）不能确定 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=，b=1， 则c等于( ) ． （A） 1 （B） 2 （C） -1 （D） ． 4．在△ABC中，已知(b+c)：（c+a）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A：sin B：sin C等于 (