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第四章 相关分析与回归分析 4.1 简单相关分析 4.2 回归分析 4.3 非线性回归 4.1 简单相关分析 4.1.1 相关分析的基本概念 4.1.2 用INSIGHT模块作相关分析 4.1.3 用“分析家”作相关分析 4.1.1 相关分析的基本概念 1. 散点图 散点图是描述变量之间关系的一种直观方法。我们用坐标的横轴代表自变量X，纵轴代表因变量Y，每组数据(xi，yi)在坐标系中用一个点表示，由这些点形成的散点图描述了两个变量之间的大致关系，从中可以直观地看出变量之间的关系形态及关系强度。 图4-1就是不同形态的散点图。 (a) (b) (c) (d) 就两个变量而言，如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相关，如图4-1(a)和(b)；如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相关或曲线相关；如图4-1(c)；如果两个变量的观测点很分散，无任何规律，则表示变量之间没有相关关系，如图4-l(d)。 2. 相关系数 相关系数是对变量之间关系密切程度的度量。若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为ρ；总体相关系数的计算公式为： 其中COV(X，Y)为变量X和Y的协方差，D(X)和D(Y)分别为X和Y的方差。 若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数（简称为相关系数），记为r。样本相关系数的计算公式为： 一般情况下，总体相关系数ρ是未知的，我们通常是将样本相关系数r作为ρ的近似估计值。 相关系数r有如下性质： ● 相关系数的取值范围：–1 ≤ r ≤ 1，若0 r ≤ 1，表明X与Y之间存在正线性相关关系，若–1 ≤ r 0，表明X与Y之间存在负线性相关关系。 ● 若r = 1，表明X与Y之间为完全正线性相关关系；若r = –1，表明X与Y之间为完全负线性相关关系；若r = 0，说明二者之间不存在线性相关关系。 相关系数r有如下性质： ● 当–1 r 1时，为说明两个变量之间的线性关系的密切程度，通常将相关程度分为以下几种情况：当| r | ≥ 0.8时，可视为高度相关；0.5 ≤ | r | 0.8时，可视为中度相关；0.3 ≤ | r | 0.5时，视为低度相关；当| r | 0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关。但这种解释必须建立在对相关系数进行显著性检验的基础之上。 3. 相关系数的显著性检验 相关系数的显著性检验也就是检验总体相关系数是否显著为0，通常采用费歇尔（Fisher）提出的t分布检验，该检验可以用于小样本，也可以用于大样本。检验的具体步骤如下： 1) 提出假设：假设样本是从一个不相关的总体中抽出的，即 H0：ρ = 0；H1：ρ ≠ 0 1) 提出假设：假设样本是从一个不相关的总体中抽出的，即 H0：ρ = 0；H1：ρ ≠ 0 2) 由样本观测值计算检验统计量： 的观测值t0和衡量观测结果极端性的p值： p = P{| t | ≥ | t0 |} = 2P{t ≥ |t0|} 3) 进行决策：比较p和检验水平?作判断：p ?，拒绝原假设H0；p ? ?，不能拒绝原假设H0。 4. 置信椭圆 可以生成两类置信椭圆： ● 均值置信椭圆：预测两变量均值的置信区域； ● 预测值置信椭圆：预测两变量分布个别观测值的置信区域。 关于预测值置信椭圆的两点说明： 1) 作为置信曲线，表示数据以设定的百分率（置信水平）落入的椭圆区域； 2) 作为相关性指标。若两个变量不相关，椭圆应该为圆；两个相关的变量有拉长的椭圆，可以用椭圆长短轴之比来衡量相关的程度。 4.1.2 用INSIGHT模块作相关分析 【例4-1】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。表4-1就是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据。 表4-1 某商业银行2002年的主要业务数据 银行想知道，不良贷款是否与贷款余额、应收贷款、贷款项目的多少、固定资产投资等因素有关?如果有，是一种什么样的关