Maple理论力学 作者 李银山 第六部分 第23章.ppt

3．使用实数记法 可得： * 第六篇 高级应用 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 在太阳系中，讨论小行星、慧星和其它小质量天体（如人造地球卫星）在太阳和某一个大行星吸引下的运动时，可以把小天体的质量看做无限小。从力学观点来说，就是忽略小天体对太阳和大行星的吸引，只讨论小天体在太阳和某一个大行星吸引下的运动规律，这样的问题就叫做限制性三体问题。在Hill的三体问题的简化形式中，所有的三个物体都在同一个平面中运动。三体之一，即“卫星”，有一个微不足道的质量，另外两个“行星”围绕总的质心以圆心轨道运行。第23章主要利用Maple 程序将三体问题的方程正则化。 第23章 平面三体问题的轨道 人造天体的运动理论是现代天体力学的主要内容之一。根据不同的研究对象，又分为人造地球卫星运动理论，月球火箭运动理论和行星际火箭运动理论。第24章利用牛顿万有引力定律讨论人造地球卫星轨道的问题。 第24章 人造地球卫星 工程中把具有一个固定点，并绕自身的对称轴高速转动的刚体称为陀螺。一方面，陀螺现象可用来设计某些仪器或装置，用以调整物体的运动方向或使运动稳定。另一方面，陀螺现象有时会是有害的。第25用Lagrange方程建模分析陀螺运动问题。 第25章 陀螺 “混沌” 掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次大革命。混沌是一种确定的系统中出现的无规则的运动。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普通遵循的共同规律。第26章讨论非线性振动、分岔和混沌的简单典型问题。 第26章 非线性振动、分岔和混沌 第二十三章 平面三体问题的轨道 23.1正则方程 23.1.1哈密顿正则方程 用广义动量 作为变量，哈密顿函数为 ， 这是 个一阶微分方程，其中 ， 叫做正则变数。在守恒力，并且约束是稳定的情况下，哈密顿函数 。 那么，哈密顿正则方程为 23.1.2正则变换 是一恰当微分，那么这种变换叫做正则变换。 如果由一组正则变数 ， 变换到另一组正则变数 ， ，而且 ， 通过正则变换，如果可以使某些变数成为循环坐标，那么问题便得到简化。 正则变换不改变正则方程的形式，即 23.1.3泊松括号和泊松定理 泊松定理：如果 ， 是正则方程的两个积分，那么， 也是正则方程的积分。 ， 利用泊松括号，正则方程可以写成 泊松括号定义为 主函数 23.1.4哈密顿—雅可比定理 如果 由哈密顿-雅可比偏微分方程 ， 其中 和 是 时 和 的数值。 求出，那么正则方程的全部积分是 如果是稳定约束，并且 不明显包含时间 ，那么 式中 是任意常数， 是力学组的总能量，亦是一常数，而哈密顿-雅可比方程写为 在某些情况下，变数可以分离，从而变为常微分方程，则可以求出 （或 ）。 求出动量。 求出运动轨道，由 求出运动规律，由 如求出 ，便可由 23.2平面三体问题 平面三体问题是描述平面上三个质点在他们彼此间的牛顿引力作用下的运动问题。它是常微分方程数值积分的一个著名应用。 在经典的天体力学中，T. Levi-Civita提出的正则化变换是克服数值积分在两个物体碰撞或接近碰撞时所发生问题的一个有效技术。 本节将使用由Waldvogel提出来的一组变量，它自动地正则化了所出现的三种相遇情况的每一种。另外，将使用Hamilton形式体系得出这些方程。然后运用Maple的微分算法能力生成运动的正则化方程。 23.2.1物理坐标下的运动方程 令 为三个物体的质量 ， 和 是在惯性坐标系下它们的位置和速度（列）向量。用 表示两个物体之间的距离（右图）。 ， ， 。 下面我们用 表示 作用在 上的牛顿引力，则有 如果选择长度、时间和质量单位，使得引力常数等于１，则牛顿运动方程（最简形式）变为 这是有12个自由度的方程组。 定义（列）向量 为因变量，即 Pythagorean初始条件（见右图）为 ，