Maple理论力学 II 第2版 作者 李银山 第28章非线性振动分岔混沌.ppt

第28章 非线性振动、分岔和混沌 第28章 非线性振动、分岔和混沌 (1) 线性系统中的叠加原理对非线性系统是不适用的,如作用在非线性系统上有可以展成傅氏级数的周期干扰力,其受迫振动的解不等于每个谐波单独作用时解的叠加。 (2) 在非线性系统中,对应于平衡状态和周期振动的定常解一般有数个,必须研究解的稳定性问题,才能确定哪一个解在实际中能实现。 (3) 在线性系统中,由于阻尼存在,自由振动总是被衰减掉,只有在干扰力作用下,才有定常周期解。而在非线性系统中,如自激振动系统,在有阻尼而无干扰力时,也有定常的周期振动。 (4) 在线性系统中,受迫振动的频率和干扰的频率相同,而对于非线性系统,在单频干扰力作用下,其定常受迫振动的解中,除存在和干扰力同频成分外,还有成倍数和分数的频率成分存在。 (5) 在线性系统中,系统频率和起始条件、振幅无关称为固有频率,而在非线性系统中,系统频率则和振幅有关,同时非线性系统中振动三要素也和起始条件有关。 (6) 非理想系统、自同步系统等不能线性化,必须研究非线性微分方程才能对其振动规律进行分析。 (7) 在非线性系统中,当系统参数发生微小改变(参数摄动)时,解的周期将发生倍化分岔,分岔的继续可能导致混沌等复杂的动力学行为。 28.2分岔28.2.1概述 用近似方法分析非线性振动问题时，会得到响应方程。该方程是分析非线性振动系统分岔解的基本方程，又称分岔方程。需计算分岔方程的转迁集和分岔图，以便完成非线性振动问题的分岔分析。如果所求得的分岔方程不是普适开折，则需对之进行识别，并进行普适开折，然后再求转迁集和分岔图。 李耳（前571~前371）在《道德经》中写道：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”李耳的思想很有价值，在两千多年前，用十三个字就提出关于宇宙的起源和演化问题。李耳具有了朴素的周期三产生混沌的思想。 孔丘（前551~前479）在《易经》中写道：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。” 孔丘包含了朴素的倍周期分岔通向混沌道路的思想。 李耳和孔丘的思想都是猜想没有经过严格的数学证明。而在近代，全世界最早给出混沌的第一个严格数学定义的人是美籍华人李天岩。他和约克教授在1975年12月份那期《美国数学月刊》上发表了一篇论文，题为“周期3意味着混沌”。在这篇文章中，他们正式提出混沌一词，并给出它的定义和一些有趣的性质。 混沌具有两个最根本的特征：第一个特征是系统状态对初始条件的灵敏依赖性，即初始条件的微小差别会随时间的演化呈指数增长。换言之，如果初始条件只有有限的精度，则随时间的增长，其状态的精度将变得越来越差，最终不可接受和长期不可预测；混沌的第二特征是其吸引子具有奇异吸引子结构。奇异吸引子也称“随机吸引子”。它位于相空间中，具有分数维，其轨线在空间中总是保持在一定的有限范围内，轨线形状极其复杂，并具有结构稳定性。随着时间的演化，其轨线是不重叠的。奇异吸引子最典型的特征是其具有无穷嵌套的自相似性结构，即取出吸引子中的小部分进行放大，它具有与原吸引子相同的内部结构，再将放大后的吸引子取出一小部分再放大，它仍然具有同原吸引子相同的内部结构，如此循环，以至无穷。当系统同时具备这两个特征时，则认为该系统存在混沌。 28.4 例题编程 (a) (b) 图28-3 答：无阻尼单摆的相图如图28-3(a)所示；阻尼单摆的相图如图 28-3(b)所示。 * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 28.1非线性振动 28.1.1非线性振动的特点 28.1.2平均法 所谓平均法就是将以位移为未知量的振动方程，化成以振幅、 相位为未知量的标准方程组，因为振幅和相位的导数都是 量级的周期函数，因此，可用一个周期的平均值代替它，故称 其为平均法。以一个自由度系统自由振动的方程 (28-1) 为例，设其一次近似解为 ， (28-2) (28-3a) (28-3b) 28.1.3 多尺度法 用摄动法研究非线性方程及其解的性质,相应的物理现象中,常出现某些因素或局部变化缓慢,某些因素或局部变化剧烈的情况,这使人们想到对自变量要采用多种不同的变化尺度去进行渐近展开求解。这类方法称为多尺度法。 非线性振动问题的解 的渐近展开式明显地和依赖于 一样依赖于 。为了使展开式对 增大到 仍有效，可引入 个不同尺度的时间变量