《7. 第七讲 欧氏空间.》.pdf

矩阵分析与应用 第七讲 欧氏空间 信息与通信工程学院 吕旌阳 问题的引入： 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 2 3 其具体模型为几何空间 、 但几何空间的度量 R R , 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来： 长度： x x x 夹角 ： x y x , y  cos x , y  x y 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 2010-12-29 2 定义：设V是实数域R上的线性空间，对V 中任意 两个向量x y,定义一个二元实函数，记(x , y ) ， (x , y ) 满足性质：x , y,z V , k R (1) (x , y ) (y, x ) （交换率） (2) (kx, y) k(x, y) （齐次性） (3) (x y,z ) x ,z (y,z )   （分配率） (4) (x , x ) 0, 当且仅当x 0 时(x , x ) 0. （正定性） (x , y ) x y 则称 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域R上的线性空间V为欧氏空间. 2010-12-29 3 注：欧氏空间V是特殊的线性空间 ①V为实数域R上的线性空间; ②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ (x , y ) R. 2010-12-29 4 n 例1．在 中，对于向量 R x a ,a , ,a , y b ,b , ,b  1 2 n 1 2 n 1）定义 (x , y ) a b a b  a b （1） 1 1 2 2 n n 易证(x , y ) 满足定义中的性质(1)～(4). 所以, (x , y ) 为内积. n 这样 对于内积 (x , y ) 就成为一个欧氏空间. R  n 3 3 当 时，1）即为几何空间 中内积在直角 R 坐标系下的表达式.