新应用微积分(下册) 教学课件 刘春凤应用微积分(下册) 教学课件 刘春凤应用微积分 第6章 6.3.ppt

求阿基米德螺线 上从 变到 的一段弧的长度。 因为 代入公式得 例6.41 解 主讲教师： * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 第 6 章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 定积分的计算 定积分的应用 平面图形的面积 1 旋转体的体积 2 平行截面已知的立体的体积 3 平面曲线的弧长 4 1. 直角坐标系下平面图形的面积 如下图，如果 ，则曲线 与直线 及 轴所围成的平面 图形的面积 的 为高、 微元是 如果 在 上不是非负的，那么它的面积 的微元应是以 为 底的矩形面积 于是，不论 是否为非负的， 即 x y o 总是 由上述公式得 也可先画出 与直线 及 轴所围成 求由曲线 与直线 及 轴所围成的平面图形的面积。 的平面图形，则由定积分的几何意义知 例6.29 解 求由两条曲线 与两条直线 所围成的平面图形的面积。 如果 任取一子区间 其上的面积用以 为高， 为底的矩形 面积近似代替，即面积微元 ，如下图所示 如果 在 负的。则在 上的面积 上不是非 近似值应是 即面积微元 因此不论什么情况，总有 由上述公式知 求 平面图形的面积。 所围成的 例6.30 解 根据正弦、余弦函数的性质知当 时， ；当 时， 所以 求抛物线 与直线 图形的面积。 所围成的 作出它的草图,如下图所示,并求抛物线与直线 的交点，即解方程组 的交点 。 如果选择 y 作积分变量， ,任取一个子区间 ，则在 上的面积微元 于是 例6.31 解 如果选择 求由曲线 及 x 轴所围成的平面 图形的面积。 作出它的草图,如下图所示 如选择 x 为积分变量， ，则 作积分变量， 则 取后一个表达式计算比较简单。 例6.32 解 求平面图形面积的步骤： A B C D E 画图定出图形所在范围； 求围成平面图形的各条曲线的交点坐标； 确定关于 x 积分还是关于 y积分或需分成 几部分，然后定出积分限； 写出面积的积分表达式； 求出积分值（面积）。 因为图形关于 代入上述积分式 轴、 求椭圆 的面积（下图所示） 其中 轴对称，所以椭圆面积 是它在第一象限部分的面积的四倍。即 把 由定积分的换元公式得 中， 例6.33 解 处的极径 用 2. 极坐标系下平面图形的面积 由曲线 及两条半直线 成的图形称为曲边扇形。 所围 任取一个子区间 为半径，以 为圆心 的小扇形的面积作为面积微元， 如下图中斜线部分的面积。即 利用对称性知 例6.34 解 所围成的曲边梯形绕 轴旋 及 具体解法如下： 设旋转体是由曲线 与直线 轴 转而成.用过点 且垂直于 轴的平面截该旋转体所得的截面是半 径为 的圆，则截面面积为 于是旋转体的体积为 类似地可以求得，由曲线 与直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转而成的旋转体 的体积为 求由椭圆 分别绕 轴和 而成的旋转体的体积。 轴旋转 绕 轴时，由上述公式并利用对称性，得 绕 轴时，由上述公式并利用对称性，得 当 时，则得球的体积为 例6.35 解 的高为 的正抛物线弓形绕其底边 底长为 旋转，求由此得到的旋转体体积。 以抛物线弓形的底边为 轴,且以底边上的中垂线 轴。则抛物线 为 弓形的顶点C的坐标为 , 底边的两个端点的坐标分别为 设在该坐标系下抛物线的方程为 因此抛物线过点A、B、C，由此 解得： 。即抛物线方程为 A O B y x 2a h 例6.36 解 于是抛物线弓形绕其底边旋转所得到的旋转体体积为 求 和直线 所围成的平面图形绕 x轴旋转而成的旋转体的体积。 先求出两曲线的交点：解方程组 得交点 减去由曲边三角形OPA绕 x 轴 该旋转体的体积是等于由直角三角形OPA绕 x 轴旋转 而成的圆锥体的体积 旋转而成的旋转体的体积 ， 即 例6.37 解 所以 代入公式得 是 轴）的截面所截 设一物体，它被垂直于直线（设为 的连续函数， 的面积 与 　 之间， 则此物体的体积为 事实上，由元素法 ，从而 且此物体的位置在 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 例6.38 解 设函数 在 上具有一阶连续的导数,在 中任取子区间 ,其上一段弧 MN的长度为 由下图知，它可以用曲线在点 处的切线上 相应该子区间