新应用微积分(下册) 教学课件 刘春凤应用微积分 第9章 9.1.ppt

验证函数 * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 主讲教师： 第 9 章 常微分方程 概念反思 理论回味 经典探究 方法纵横 前景展望 1 2 微分方程的基本概念 3 微分方程的实际背景 4 常微分方程：未知函数是一元函数 偏微分方程：未知函数是多元函数 含自变量、未知函数及其导数的方程叫做 微分方程 . 定义9.1 马尔萨斯人口模型 英国经济学家和人口统计学家马尔萨斯根据一百多年 的统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型。 的增长速度与现有人口数量成正比，设开始时 的人口数量为 假设人口数量 是时间 的连续函数，且人口数量 在此基础上，马尔萨斯 提出了如下的人口模型： 其中 是常数， 为年增长率。 例 9.1 冰雹的下落速度 当冰雹由高空下落时，它除了受到地球的重力作用外， 还受到了空气阻力的作用，阻力的大小与冰雹的形状 和运动速度有关，一般可对阻力做两种假设： （1）阻力的大小与下落速度成正比 （2）阻力的大小与下落速度的平方成正比 例 9.2 表示冰雹的速度， 表示冰雹的下落速度 则 （1）设阻力 根据牛顿第二定律建立方程 （2）设阻力 根据牛顿第二定律建立方程 解 微分方程中所含未知函数导数的最高阶数 ( n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 叫做微分方程的阶. 或 定义9.2 若微分方程中未知函数及其各阶导数 的次数均为一次，且不存在它们的乘积项，则称为 线性微分方程。 例如，下列方程就是一组各具特色的常微分方程： 上述微分方程中(1)(3)(4)(5)都是线性微分方程， (2)(6)则不是。 定义9.3 —如果一个函数满足微分方程. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. 的阶数相同. 特解 微分方程的解 — 确定了通解中任意常数的解 定解条件 【注】 通解满足两个条件：1) 是解；2) 含有任意常数。 定义9.4 一 阶方程的初始条件(或初值条件): 用来确定微分方程通解中任意常数的条件 称为微分方程的初始条件。 求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为 微分方程的初值问题。 二阶方程的初始条件 定义9.5 几何上，微分方程的解的图形是一条曲线，称它为 微分方程的积分曲线. 而通解的图形就是一族曲线，称它为积分曲线族。 某个特解的图形是一条特定的积分曲线。 是微分方程 的通解, 的特解 . 并求满足初始条件 验证函数 例 9.3 代入原方程左边得 是方程的通解 . 利用初始条件易得: 故所求特解为 解 是初值问题 的解 解 将 代入方程 恒等式成立 且满足 是该初值问题的解 所以 例 9.4 *