新数值计算方法 教学课件 刘玲 第2章 非线性方程的数值解法.ppt

第2章 非线性方程的数值解法 目 录 2.1 二分法 2.2 一般迭代法 2.2.1 迭代法及收敛性 2.2.2 Steffensen加速收敛方法 2.3 Newton切线法 2.3.1 Newton迭代法及其收敛性 2.3.2 代数方程的Newton迭代法 2.4 弦截法 2.5 MATLAB程序代码与算例 主要内容 本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和有效的数值方法,同时也对非线性方程组 求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在 实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突 破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力 时,数值方法则可以借助于计算机出色完成. 2.1二分法 首先确定有根区间：依据零点定理。 设 ， 且 ，则方程 在区间 上至少有一根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。 等步长扫描法求有根区间 用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h0是给定的步长，取 ， 若 则扫描成功；否则令 ，继续上述方法，直到成 功。如果 则扫描失败。再将h 缩小， 继续以上步骤。 等步长扫描算法 算法：（求方程 的有根区间） (1) 输入： ； (2) ； (3) ，若 输出失败信息，停机。 (4)若 。输出 ，已算出方程的一个根，停机。 等步长扫描算法 (5) 若 。输出 为有根区间，停机 (6) ，转 3） 注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明： 在 内无根 在 内有偶重根 二分法 用二分法(将区间对平分)求解。 令 若 ，则 为有根区间，否则 为有根区间。 记新的有根区间为 ， 则 且 二分法 对 重复上述做法得 且 二分法 设 所求的根为 ， 则 即 取 为 的近似解 求方程f(x)=0的根的二分法算法 求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法 求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法 例题 例1 设方程 解：取h=0.1,扫描得： 又 即 在 有唯一根。 2.2一般迭代法 2.2.1 迭代法及收敛性 对于 有时可以写成 形式 如： 迭代法及收敛性 考察方程 。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得 迭代法及收敛性 若 收敛，即 则得 是 的一个根 迭代法的几何意义 交点的横坐标 简单迭代法 将 变为另一种等价形式 。 选取 的某一近似值 ，则按递推 关系 产生的迭代序列 。这种方法算为简单迭代法。 例题 例2.2.1 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由