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小波与多分辨率分析Wavelet and Multiresolution Analysis 信号分析工具 1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码(subband coding),多采样率滤波器组(multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波 1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基 1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。 1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。 1988年，Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。 小波的应用 J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化 软件包 Math Works:Wavelet Toolbox Standford: Wave Tool Yale:WPLab MathSoft:S+WAVELETS Aware:WaveTool Rice: Wavelet ToolBox 距离空间 函数空间 基底 Hilbert空间 框架及紧框架 Frame Compact Frame 小波分析 连续小波变换 连续小波变换的再生核 常用的连续小波 离散小波变换(Discrete Wavelet Transform) 尺度空间和尺度函数(Scaling Space) 小波函数和小波空间 双尺度方程 滤波器系数h0(k)和h1(k)的性质 离散信号的多分辨率分析与正交小波变换 二维正交小波变换 * * 小波分析 深圳大学信息工程学院 信息工程学院 纪震 Dr. Ji Zhen Faculty of Information Engineering, Shenzhen Univ. Sept.,2000 小波分析 深圳大学信息工程学院 信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探 流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波分析 深圳大学信息工程学院 A.Brice, D.Donoho, H.Y.Gao, Wavelet Analysis, IEEE Spectrum, 33(10),1996 距离空间 常用的距离空间 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波分析 深圳大学信息工程学院 线性空间 线性赋范空间 Banach空间 Hilbert空间 小波分析 深圳大学信息工程学院 张成span 基底 正交 标准正交系 完全的标准正交系 双正交基 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波分析与付里叶变换的比较 小波分析 深圳大学信息工程学院 小波分析 深圳大学信息工程学院 尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交的过渡完全基，小波展开系数之间有相关关系，采用如下描述 1.CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大 2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。 重建核方程 小波分析 深圳大学信息工程学院 Morlet Wavelet morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support Effective support=[-4 4], Symmetry Morlet小波是一种复数小波，时频均具有很好的局部性。 Mexican hat Wavelet mexh(x) = c * exp(-x^2/2) * (1-x^2)where c = 2/(sqrt(3)*pi^{1/4}) No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support Effective support