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全国名校高考专题训练09立体几何 三、解答题(第三部分) 51、PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点。 （1）求证：AF//平面PCE； （2）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离。 证明：（1）取PC中点M，连ME，MF ∵FM//CD，FM=，AE//CD，AE= ∴AE//FN，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形 ∴AE//EM， ∵AF平面PCEAF//平面PCE 解：（2）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD， ∴CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角， ∴∠PDA=45° ∴△PAD是等腰Rt∠，而EM//AF。 又∵AF⊥CD ∴AF⊥面PCD，而EM//AF ∴EM⊥面PCD 又EM面PEC， ∴面PEC⊥面PCD 在面PCD内过F作FH⊥PC于H则FH为点F到面PCE的距离 由已知PD= ∵△PFH∽△PCD ∴ ∴ 52、 53、 54、2008年第三次模拟考试的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为， 且侧面底面. （1）证明：点在平面上的射影为的中点； （2）求二面角的大小 ； （3）求点到平面的距离. （1）证明：过B1点作B1O⊥BA。∵侧面ABB1A1⊥底面ABC ∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角 ∴∠B1BO= 在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO=BB1=1 又∵BB1=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中点。 即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点 …………4分 （2）连接AB1过点O作OM⊥AB1，连线CM，OC， ∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA1BB1 ∴OC⊥平面AABB。 ∴OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 ∵OM⊥AB1 ∴AB1⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB1—B的平面角 在Rt△OCM中，OC=，OM= ∴∠OMC=cosC+sin2 ∴二面角C—AB1—B的大小为 …………8分 （3）过点O作ON⊥CM，∵AB1⊥平面OCM，∴AB1⊥ON ∴ON⊥平面AB1C。∴ON是O点到平面AB1C的距离 连接BC1与B1C相交于点H，则H是BC1的中点 ∴B与C1到平面ACB1的相导。 又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB1C的距离 是O到平面AB1C距离的2倍 是G到平面AB1C距离为 …………12分 55、＝＝＝ （2）求二面角A—PD—C的余弦值； （3）求点B到平面PDC的距离。 解：（1） （2）∠CEA为二面角A—PD—C的平面角， （3）点B到平面PDC的距离为 56、如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为中点，为中点（）求证：平面； （）求二面角的大小． （1）证明取SC的中点R，连QR, DR由题意知：PDBC且PD=BC; QRBC且QP=BC, QRPD且QR=PDPQ∥DR, 又PQ面SCD,PQ∥面SCD. …………6分 （2）法一： . . ， …………（12分（2）法二：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（），B（）,C（），Q（） 面PBC的法向量为（）,设为面PQC的法向量， 由， …………（12分、. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为. （1）证明：连，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，为在平面 的射影， 而AD=AA1=1，则四边形是正方形， 由三垂线定理得D1E⊥A1D ……………3分 （2）解：以点D为原点，DA为轴，DC为轴建立如图所示的直角坐标系。则 、、、则，， ，设平面的法向量为 ，记 点A到面ECD1的距离……………7分 （3）解：设则，设平面的法向量为 ，记 而平面ECD的法向量，则二面角D1—EC—D的平面角 。 当AE=时，二面角D1—EC—D的大小为。……………12分 58、2008年高考模拟)(湖北省鄂州市2008年高考模拟)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足（如图1）.将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP； （Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； （Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）. 解：不妨设正三角形的边长为3，则 （1）在图1中，取中点，连结， 则∵ , ∴而，即△