专题二 直线、平面平行与垂直的判断、证明.docx

 PAGE \* MERGEFORMAT 14 专题二 直线、平面平行与垂直的判断、证明 知识体系（四大块） 平行线线平行线面平行面面平行 垂直线线垂直线面垂直面面垂直 夹角异面直线所成角所成角线面角面面角 距离 基本知识点 一．定理与性质 （一）平行 线线平行： 1.平行四边形 2.中位线 3.线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号语言：a∥α，a?β，α∩β＝l?a∥l. 注意：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行． 4.面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行. 符号语言：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?a∥b. 5.线面垂直线线平行 垂直于同一平面的两条直线平行; 符号语言：a⊥α，b⊥α?a∥b； 线面平行： 1.线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 符号语言：a?α，b?α，且a∥b?a∥α； 注意：一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误． 2.面面平行线面平行 如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面 符号语言：α∥β；a?α?a∥β. 面面平行： 1. 线面平行面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a?α，b?α，a∩b＝M，a∥β，b∥β?α∥β； 2．推论： 符号语言：a∩b＝M，a，b?α，a′∩b′＝M′，a′，b′?β，a∥a′，b∥b′?α∥β. 3．线面垂直面面平行 垂直于同一直线的两平面平行． 符号语言：a⊥α，a⊥β?α∥β. （二）垂直 线线垂直 共面 1.等腰三角形 2.勾股定理 异面 3.线面垂直线线垂直 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． 符号语言：a⊥α，b?α?a⊥b； 4.三垂线定理 ①三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 符号语言：已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面 内的射影，且a?α, ⊥,则⊥ ②三垂线逆定理：如果平面??一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 符号语言：已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面 内的射影，且a?α, ⊥,则⊥ 线面垂直： 1.线线垂直线面垂直 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 符号语言：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(m、n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α； 2.平行线垂直平面的传递性 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 符号语言：m∥n,m⊥α,则n⊥α 3.面面垂直线面垂直 如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 4.面面平行线面垂直 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 符号语言：α∥β,m⊥α,则m⊥β 5.面面垂直线面垂直 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 面面垂直： 1.线面垂直面面垂直 如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. 符号语言：a?α，a⊥β?α⊥β. 二．空间向量 (一）空间向量的坐标表示及运算 1.数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)； ②λa＝(λa1，λa2，λa3)； ③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 注意：向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：①以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；②向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标． 2.共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 3.模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)