§8.5.线面垂直、夹角.ppt

* §8.5 直线、平面所成的角与垂直 1.直线与平面垂直 （1）判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面. 相交 垂直 基础知识 (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内＿＿ 直线. ②垂直于同一个平面的两条直线 . ③垂直于同一直线的两平面 . 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3.二面角的有关概念 （1）二面角：从一条直线出发的＿＿＿＿ 所组成的图形叫做二面角. 任意 平行 平行 两个半平面 （2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点 为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面. 垂直于棱 一条垂线 交线 例题1. 如图所示，四面体ABCS中， SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°， ∠SBC=60°，M为AB的中点.求： （1）BC与平面SAB 所成的角； （2）SC与平面ABC 所成的角的正切值. 解 （1）∵SC⊥SB，SC⊥SA， SB∩SA=S，∴SC⊥平面SAB， ∴BC在平面SAB上的射影为SB. ∴∠SBC为BC与平面SAB所成的角. 又∠SBC=60°,故BC与平面SAB所成的角为60°. （2）连结MC，在Rt△ASB中， ∠SBA=45°， ∴△ASB为等腰直角三角形， ∴SM⊥AB， 由（1）知AB⊥SC，AB∩SM=M， ∴AB⊥平面SMC， ∵ 平面ABC ∴平面SMC⊥平面ABC. 过点S作SO⊥MC于点O，∴SO⊥平面ABC. ∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角. 由（1）知SC⊥平面SAB， 又 平面SAB，∴SC⊥SM， ∴△SMC为直角三角形. 设SB=a， 即SC与平面ABC所成的角的正切值为 . 例题2. 如图所示，四棱锥P— ABCD的底面ABCD是 直角梯形，PA⊥平面 ABCD，且AD∥BC， AD⊥DC,△ADC和 △ABC均为等腰直角 三角形,设PA=AD=DC =a，点E为侧棱PB上一点，且BE=2EP. （1）求证：平面PCD⊥平面PAD； （2）求证：直线PD∥平面EAC； （3）求二面角B—AC—E的余弦值. （1）证明 ∵PA⊥平面ABCD，DC平面ABCD， ∴DC⊥PA. 又∵AD⊥DC，且PA与AD是平面PAD内两相交 直线， ∴DC⊥平面PAD. 又∵DC平面PCD， ∴平面PCD⊥平面PAD. （2）证明 连结BD，设BD与AC相交于点F， 连结EF， 在等腰直角△ADC中，∵AD⊥DC， 又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC= 又∵△ABC为等腰直角三角形，且底面ABCD是直 角梯形， （若∠B为直角，则与底面 ABCD是直角梯形相矛盾）. 由AD=DC=a，易知AB=AC= a，BC=2a， ∵BC∥AD且BC=2AD，∴BF=2FD. 又∵BE=2EP，∴PD∥EF. 又∵EF平面EAC，PD平面EAC， ∴直线PD∥平面EAC. （3）解 过点E作EH∥PA交AB于H点， 则EH⊥平面ABCD，又∵AB⊥AC，∴EA⊥AC. ∴∠EAH为二面角B—AC—E的平面角. ∵BE=2EP， 即二面角B—AC—E的余弦值为 . *