2.4线段的垂直平分线.ppt

三角形 本章内容 第2章 线段的垂直平分线 本课内容 本节内容 2.3 动脑筋 如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点A′关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA′有什么关系？ 说一说 我发现AD=A′D， l⊥AA′. 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图 已知点A与点Ａ′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点Ａ′重合，AD=A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′． 说一说 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）. 线段是轴对称图形， 线段的垂直平分线是它的对称轴. 探究 如图， 在线段AB 的垂直平分线l上任取一 点P， 连接PA，PB，线段PA, PB之间有什么关系？ 作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA= PB. 结论 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵CD⊥AB,AO=BO ∴PA=PB 动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？ (1) 当点P在线段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上. 动脑筋 （2） 当点P在线段AB外时,如图, 因为PA =PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P 作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即PC⊥AB，且AC = BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 结论 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 举 例 例1 已知：如图，在△ABC中，AB，BC 的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证： 点O在AC的垂直平分线上. 举 例 证明∵ 点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA = OB. 同理OB = OC. ∴ OA = OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 练习 已知：如图，点C，D 是线段AB 外的两点， 且AC =BC，AD =BD， AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明：∵AC=BC ∴点C在线段AB的垂直平分线上 ∵AD=BD ∴点D在线段AB的垂直平分线上 ∴CD是线段AB的垂直平分线 ∴AO=BO 例2 △ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F. 求证：BE=CF. 举 例 证明：连接BD和CD∵DM垂直平分BC∴BD=CD∵D是∠BAC平分线上的点， 且DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF ，△BDE和△CFD是Rt△在Rt△BDE和Rt△CFD中BD=CDDE=DF∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)∴BE=CF 举 例 做一做 如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线. 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”， 要作线段AB的垂直平分线， 关键是找出到线段AB两端距离相等的两点. 做一做 作法 ①分别以点A，B 为圆心， 以大于 AB 的长 为半径画弧， 两弧相交于点C 和点D； ②过点C,D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB 的中点， 所以可以用这种方法作出线段的中点. 做一做 动脑筋 如何过一点P 作已知直线l 的垂线呢？ (1)当点P在直线l上. (2) 当点P在直线l外. 动脑筋 ①在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA， PB，使PA= PB； (1)当点P在直线l上. ②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C； ③过点C， P作直线CP， 则直线CP为所求作的直线. 动脑筋 (2) 当点P在直线l外. ①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径画弧， 交直线l于点A，B； ②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C； ③过点C,P作直线CP，则直线CP为所求作的直线. 小结与复习 1.