《2016年北京大学数学分析试题解答》.pdf

本试题解答由 SCIbird 提供 2011 年北京大学研究生入学考试 数学分析试题解答 SCIbird 说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大 2011 年试题的回忆版与原题多少有 些出入，这里根据自己的理解来确定试题。因为对试卷回忆版第 5 题搞不清楚， 所以略去此题。其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些 的试题就写得详细一些。试题后的评注是个人对试题的看法。 1. 用确界存在定理证明，如果函数f (x) 是区间I 上的连续函数，则f (I ) 是一个 区间。 证明：为证明f (I ) 是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。 不妨只考虑f (a) f (b) 情形，其它情况同理。 任取实数c ，满足f (a) c f (b) 下面利用确定存在定理证明∃ξ∈(a , b) ， 使得f (ξ) =c . 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。 记集合S ={t ∈[a , b]: f (t ) c} ，因为f (a) c ，所以a ∈S ，因此如此定 义的集合非空。由确界存在定理知，上确界ξ=sup S 存在且。由f (x) 连续函数， 所以f (ξ) ≤c 且a ξb . 下证f (ξ) =c ： 采用反证法。假设f (ξ) c ，因为ξ是内点，所以由连续函数的局部保号性 可知存在ξ的一个邻域U =(ξ−δ, ξ+δ) ⊂[ a , b] ，使得在U 上满足f (x) c ，特 1 别地f (ξ+ δ) c ，这与ξ=sup S 是上确界的定义矛盾！所以f (ξ) =c . 2 评注：上面的证明是标准的，读者应该熟练掌握“连续函数取上确界”这种技 巧，2009 年北大数学分析压轴题的证明方法也取上确界。印象中北大考研的数 学分析试题必有一道试题涉及实数系那几个基本定理的等价性证明或者应用， 属于送分题，但前提是你认真准备过。 实数系基本定理有好几个，但在解题或科研中，最常用的是确界存在原理 和闭区间套定理。特别在处理涉及连续函数的 1 维问题时，确界存在原理往往 起到奇兵作用。 本试题解答由 SCIbird 提供 2. 可导函数f (x) 在区间(0 ,1) 上有界，极限 lim f (x) 不存在。证明：存在数列 x→0+ (0 ,1) ′ xn ∈ ，满足xn →0 +, f (xn ) =0 . 证明：我们断言：∀n ，导函数f ′(x) 在(0 ,1/ n) 内必有零点。否则，假设存在n , 0 导函数f ′(x) 在(0 ,1/ n ) 内无零点。由达布定理（导数介值定理）知，f ′(x) 在 0 (0 ,1/ n ) 内不变号，故有界函数f (x) 在(0 ,1/ n ) 内是单调的，此时极限 0 0 lim f (x) x→0+ 存在，与题意矛盾。 故导函数f ′(x) 在(0 ,1/ n) 内必有零点，记为xn ，不难验证其满足题意。 评注：本题的解法不唯一，上面的解法技巧性比较强。个人感觉导数介值定理 还是很强大和实用的，但不知道为什么不少优秀教材没有收录进这个定理，比 如张筑生老师的《数学分析新讲》。 f x 在区间I 上连续，证明：若| f (x ) |可导，则f (x) 也可导。 3. 函数 ( ) 证明：我们的目标是证明 | f (x +h ) | −| f (x ) | f (x +h) −f (x)