高维差分微分系统对称性与严格解的研究的新方法.pdf

高维差分微分系统对称性和严格解研究的新方法 摘要 |j 战们知道从牛顿时代起在数学的框架里对许多自然现象的描述 被假设为是更重要的．许多人作出了重要的努力，使得给定的物理情 形能够用微分方程来公式化地表示．在一定的条件下，物理、化学、 楚地看到多种多样的不同的物理现象根本不能用线性模型来解释． 罔此，一些重要的非线性模型开始出现在众多的科学的各个分支．随 着科学的发展，非线性系统的研究取得了越来越多的进步． ～方面由于计算机科学的发展，另一方面由于差分微分可积系统 的研究在数学、物理、化学、生物、凝聚态物理、流体力学、等离子 体、光学和通讯领域有广泛的应用，所以吸引了越来越多的数学家和 物理学家的注意力并成为一个新的研究热点．由于差分微分可积系 统的研究起步不久．与连续系统比较，有更多的重要问题还没有解决， 因此，我们选择这一课题作为我博士论文的主要研究方向． 对称性研究是自然科学中的最基本方法之一．在可积模型的研究 中，由于无穷多对称和守恒律的存在，对称性研究显得更为重要．通 过许多数学家和物理学家的努力，在连续可积模型中建立了许多强有 力的方法．如在l+l维可积系统中的递推算子法和高维系统中的形式 级数对称方法．在I+1维的离散可积系统中人们同样发现了可用递推 算子法和同样有效．形式级数对称方法是我国的楼森岳教授建立的 有效方法竹，本文裁弱首次把形式级数对称方法推广应用到一般高维 差分微分非线性系统，然后把这个方法应用到典型的2+1维的差分微 维的差分微分Toda方程，有二簇无限多对称．它们中的每一簇都构 成一个广义的w。代数．其中魄点李对称的子代数包含两个重要的无 限维的Virasoro代数．然后，我藕：旨次将形式级数对称方法推广应用 到非标准的演化方程系统(时间导数项可以出现在不同的非线性项 中)．并以双线性形式的差分微分KP系统为例进行了具体的讨论．在 群不变方程的完整归类的新方法，并以典型的(2+1)维差分微分Toda 方程为例进行了具体的讨论． l一方面孤立子解是非线性系统本质的最基本的激发模式，孤子解 的存在性在非线性模型的建立和研究中起着极为重要的作用．另一方 面，寻求非线性系统的孤立子解，Hirota的双线性方法是最简单有效 的方法．为了得到双线性方程多孤子解，Hirota等人给出了方程的允 许类型．是否存在现有限制的双线性方程以外的其它类型的双线性方 程中也有孤子解的问题是一个很有意义的问题．本论文考虑了推广 的KdV型和mKdV型的双线性方程，我们指出了在确定的条件下，方程 有单孤子和双孤子解．而且，我们详细地研究了特殊形式的mKdV型 的双线性方程，给出了三孤子存在的条件，给出了一些具体的例子． 连续可积模型相对来说已积累了相当多的模型和研究方法．而在 离散系统无论在模型还是在研究方法上都要贫乏得多．本文将一个 2079)提出的模型作了推广，提出了二个新的可积的差分微分系统； 并指出了它们有B萏cklund变换和Lax对意义下的可积性． 一旦一个新的模型建立或提出后，要检验和研究该模型与其它模 型之间的关系历来是一个重要的问题．如连续情形下的Miura变换将 j哿Burgers方程变换成线性的热传导方程使得问题求解大为简化．本 文重新考虑了由几个作者提出的几个方程，首先指出了二个由 388 Jpn． 51，4116(1982)：51，4125(1982)：52， (1983)： 321515(1999)] 和Szum发现的另外的晶格可看作Wu牙DHu[J．Phys．A 提出的模型的高维推广．关于这些晶格的可积性被导出．由Levi， 被变换成耦合的双线性方程，然而，我们指出了耦合的双线性方程没 有双孤子解． 近年来，在连续系统中，楼森岳教授和唐晓艳博士等成功地建立 了多线性分离变量法．使得一大批的高维非线性连续模型得以用分 离变量法求解，并发现了所有多线性分离变量可解模型都具有一个普 适量．由这普适量出发，可以得到大量的新的局域激发模式．本文把 多线性分离变量方法推广应用到一个特殊的差分微分Toda方程和反 分系统中，首次建立了构造方程的严格解的一个强有力的新方法一 多线性分离变量法．对于特殊的差分微分Toda方程的势和ANNv