勾股定理的判断.docVIP

? 【本讲教育信息】 一、教学内容： 勾股定理及直角三角形的判定 1、勾股定理 2、勾股定理的验证 3、直角三角形的判别条件 4、勾股数 ? 二、教学目标 1、掌握勾股定理，体会数形结合的思想，并会利用勾股定理求直角三角形的直角边或斜边。 2、了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用此方法进行验证。 3、能根据直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形。 4、理解勾股数的含义。 ? 三、知识要点分析 1、勾股定理 （这是重点）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。 3、（这是重难点）如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。 4、勾股数 （这是重点）满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。 友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。 ? 【典型例题】 考点一：勾股定理 例1：在△ABC中，∠C=90°， （1）若a=3，b=4，则c=__________； （2）若a=6，c=10，则b=__________； （3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________. 【思路分析】这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知除直角外的两个独立条件，就能求得直角三角形的边. 解：（1），则c=5. （2），则b=8. （3）∵a：b=8：15，∴设a=8x，b=15x. ∵∠C=90°，∴. ∴c=17x.∴17x=34，x=2. ∴a=16，b=30. 方法与规律：学会正确应用勾股定理，关键是能准确判断斜边（直角所对的边）；若不能直接运用勾股定理：如已知边的比值时通常可以引入一个辅助未知量，通过建立方程（或方程组）来解决边的问题. ? 例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。 【思路分析】题目中没有明确说出直角边和斜边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边，故我们要分两种情况进行分类讨论。 解：设第三边的长为x（x0） （1）当x是斜边时，由勾股定理，得x2=32+42，解之得x=5； （2）当x是直角边时，由勾股定理，得42=32+x2，即x2＝42－32=7，解之得x=。 所以第三边的长是5或。 ? 考点二：勾股定理的验证 例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2） 是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。 （2）用这个图形证明勾股定理。 （3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明） 【思路分析】将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积相等即可验证勾股定理。 解：（1）如下图。直角梯形 （2）∵S梯形=（a+b）（a+b） =（a+b）2 S梯形=2×ab+c2= ab+c2 ∴（a+b）2=ab+c2整理得：a2+b2=c2 （3）用4个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。 ? 考点三：直角三角形的判别条件 例4：已知△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形? 【思路分析】本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形. 解：因m，n是正整数，且m＞n，所以c＞b，ca.a2+b2=（m2－n2）2+（2mn）2=m4－2m2n2+n4+4m2n2 = m4+2m2n2+n4，c2=（m2+n2）2= m4+2m2n2