第七章 生活中的轴对称120.docVIP

第章 【知识导航】 本章的知识结构图为： 第一单元 性质 【主编讲解】例 思路点拨：每一个图案都具备什么特征？每一个图案可以看成由哪个英文字母经过什么变换得到的？你能确定空缺位置的英文字母吗？ 解： 回顾反思：此题是轴对称图形的具体应用，关键是认真分析所给图形的特征、发现均是轴对称图形，而且分别是由字母B、C、D、F、G经过轴对称变换得到的，由此发现空缺位置的图案是由字母E经过轴对称变换得到。此题考查同学们观察图形探索规律的能力 例3 如图，∠AOB内一点P, P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M, 交OB于N , 若P1P2=5cm , 则ΔPMN的周长是（ ） 思路点拨：在轴对称中，对称点连线PP1与对称轴OA有什么关系？ 线段垂直平分线上的点具有什么性质？三角形的三边可以被转化成 哪些线段？ 解：因为P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点， 所以OA垂直平分PP1，OB垂直平分PP2，根据线段垂直平分线 上的点到线段两端的距离相等，所以MP1=PM，NP2=PN，所以 ⊿PMN的周长=MN+PN+PM=MN+NP2+MP1=P1P2=5cm 回顾反思： 本题运用了轴对称的性质和线段垂直平分线的性质，通过此题可以发现线段垂直平分线性质可以帮助你进行等线段代换，从而将三角形周长转化成线段P1P2的长。而这种转化的数学思想在今后的学习中会经常用到。 举一反三：如图，△ABC中，AB＝AC，腰AC的垂直平分线交AB于D，交 AC于E，若△BCD的周长是12cm，BC＝3cm，求：腰AC的长度。 解：因为DE垂直平分AC，所以AD=CD，△BCD的周长=CD+BD+BC= AD+BD+BC=AB+BC,所以12=AB+3，AC=AB=9 例4.如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D， （1）∠PCD=∠PDC吗？ 为什么？ （2）OP是CD的垂直平分线吗？ 为什么 思路点拨：已知条件使你联想到学过的哪个结论？你能得到哪些线段相等？哪些等腰三角形？△OPC和△OPD是全等三角形吗？通过全等你会发现OP与∠AOB有什么关系？在△ODC中说明OP是CD的垂直平分线，可以用到你学过的哪个结论？ 解：（1）因为P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，根据角平分线性质可得PC=PD，根据等腰三角形等边对等角，可得∠PCD=∠PDC。 （2）因为PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°，OP=OP，所以△OPC≌△OPD，根据全等三角形性质可得OC=OD，∠POC=∠POD，根据等腰三角形三线合一可得OP垂直平分CD 回顾反思：此题是一道典型的角平分线性质、等腰三角形三线合一、全等三角形的综合应用题，不仅综合性较强，而且说理有一定难度。解决此类问题关键是在熟练掌握基本概念、结论的基础上，充分利用已知条件，顺藤摸瓜，挖掘间接条件，推出的结论。 例5 如图，在正方形网格上有一个△ABC，（1）ABC关于直线MN的对称图形（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积 思路点拨：作一个图形关于某直线的轴对称图形关键是确定什么？轴对称的两个图形对应点连线与对称轴有什么关系？ 解：（1） （2）S△ABC= 回顾反思：作一个图形关于某直线的轴对称图形关键是确定几个主要的对称点，而确定对称点的根据是“对应点连线被对称轴垂直平分”，所以A点到MN的距离等于Aˊ点到MN的距离，以此可以确定Bˊ点和Cˊ点 【拓展空间】 (1) (2) (3) （1）题中，A、B两点在直线L的两侧，非常容易想到连结AB，AB与L的交点就是所求的分支点M，分支点开在此处总线路AM+BM最短。因为两点之间线段最短。 （2）题中，A、B两点在直线L的同侧，如何转化为异侧呢？我们容易想到“翻转”，即“轴对称”。作B点关于直线L的对称点B1，连结AB1交直线L于点M，此处即为分支点，即AM+BM最短 如何说明（2）题中AM+BM最短？在AB上任取一点P，连接AP、BP、B1P，根据三角形两边和大于第三边，有PB1+AP＞AB1，即，PB1+AP＞AM+MB1，因为PB=PB1，MB=MB1据，所以PB+AP＞AM+MB，由于任取一点得到的路程之和都比AM+BM大，这说明AM+BM是最小的。这里用到了数学的？？？？思想 点拨：在解本题时，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2. 2、折叠问题中的轴对称 如图，△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找。 思路点拨：折叠问题中折叠前后的部分可以看成关于折痕轴对称吗？∠A与