解三角形应用举例 第八节.ppt

* 第八节　解三角形应用举例 1．有关概念 (1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时叫 ． 如图所示． 仰角 俯角 (2)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角叫方位角． (3)坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角． (4)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比叫做坡比． 2．解斜三角形在实际中的应用 解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤是： (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角等． (2)根据题意画出示意图． (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　) A．α＞β　　　　　　　　B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 【解析】　根据仰角与偏角的含义，画图即可得知． 【答案】　B 2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 【解析】　灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB=80°， ∠CAB=∠CBA=50°， 则α=60°-50°=10°. 【答案】　B 3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是(　　) A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 【解析】　选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB. 选项D同B类似，故选A. 【答案】　A 4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 【解析】　如图，由题意可得OA=50， OB=30. 而AB2=OA2+OB2-2OA·OB cos120° =502+302-2×50×30×(-) =2 500+900+1 500=4 900，∴AB=70. 【答案】　70 5．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小． 【解析】　如图所示 ：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t. 因为AB=200，所以BD=200-80t， 问题就是求DE最小时t的值． 由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60° =(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t =12900t2-42000t+40000. 当t=时DE最小． 【答案】　 某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离． 【思路点拨】　在△ACD中用正弦定理求AD→在△BCD中用正弦定理求BD→在△ABD中用余弦定理求AB 【解析】　在△ACD中 ，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°，CD=6，∠ACD=45°，根据正弦定理有AD==CD.同理，在△BCD中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°，CD=6，∠BCD=30°， 根据正弦定理得BD==CD. 又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°， 根据勾股定理有AB==CD =CD=(km)． 所以炮兵阵地到目标的距离为 km. 某人在山顶观察地面上相距2 500 m的两个目标A、B，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)． 【解析】　画出示意图(如图所示)： (1)依据题意画图是解决三角形应用题的关键．本例中，既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰角(它是铅垂面上所成的角)，因而本例的图形是一个立体图形，因此在画图时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解． (2)由本例可知，方向角是相对于在某地而言