《【名师名校典型题】2016高考数学二轮复习名师知识点总结：等差数列、等比数列》.pdf

Go the distance 等差数列、等比数列 【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形 式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的 计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、 前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力， 属低、中档题． ?S ， n ＝1， ? 1 1． a 与S 的关系S ＝a ＋a ＋…＋a ，a ＝? n n n 1 2 n n ? S －S － ， n ≥2. ? n n 1 2 ． 等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a －a － ＝常数 n ≥2 an ＝常数 n ≥2 n n 1 an－1 通项公式 a ＝a ＋ n －1 d a ＝a qn－1 q ≠0 n 1 n 1 1 定义法 2 中项公式法：2a ＋ ＝a ＋a ＋ 1 定义法 n 1 n n n ≥1 ? a 为等差数列 2 中项公式法：a2＋ ＝a ·a ＋ 2 n n 1 n n 2 3 通项公式法：a ＝pn ＋q p 、q n ≥1 a ≠0 ? a 为等比数列 n n n n 为常数 ? a 为等差数列 3 通项公式法：a ＝c ·q c、q 均 n n 判定方法 2 * 4 前n 项和公式法：S ＝An ＋ 是不为 0 的常数，n ∈N ? a n n Bn A 、B 为常数 ? a 为等差 为等比数列 n 数列 4 a 为等差数列? aa 为等 n n 5 a 为等比数列，a 0 ? 比数列 a 0 且a≠1 n n log a 为等差数列 a n * * 1 若m 、n 、p 、q ∈N ，且m ＋ 1 若m 、n、p 、q ∈N ，且m ＋n n ＝p ＋q ，则a ＋a ＝a ＋a ＝p ＋q ，则a ·a ＝a ·a m n p q m n p q 性质 2 a ＝a ＋ n －m d 2 a ＝a qn－m n m n m 3 Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，… 3 等比数列依次每 n 项和 仍成等差数列 S ≠0 仍成等比数列 n n a ?1－q ? a －a q 1 1 n 1 q ≠1，S ＝ ＝ n?a ＋a ? n?n －1? n 前n 项和 S ＝ 1 n ＝na ＋ d 1－q 1－q n 2 1 2 2 q ＝1，S ＝na n 1 Go the distance 考点一 与等差数列有关的问题 例 1 在等差数列 a 中，满足3a ＝5a ，S 是数列 a 的前n 项和． n 5 8 n n 1 若a 0 ，当S 取得最大值时，求n 的值； 1 n S －a 2 若a ＝－46 ，记b ＝ n n ，求b 的最小值． 1 n n n 解 1 设 a 的公差为d ，则 n 2 由3a ＝5a ，得3 a ＋4d ＝5 a ＋7d ，∴d ＝－ a . 5 8 1 1 23 1 n?n －1? ? 2 ? 1 2 24 ∴S ＝na ＋ × － a1 ＝－ a n ＋ a n n 1 2 ? 23 ? 23 1 23 1 1 2 144 ＝－ a n －12 ＋ a . 23 1 23 1 ∵a 0 ，∴当n ＝12 时，S 取得最大值． 1 n 2 2 由 1 及a ＝－46 ，得d ＝－ × －46 ＝4 ， 1 23 ∴a ＝－46 ＋ n －1 ×4 ＝4n －50， n n?n －1? 2 S ＝－46n ＋ ×4 ＝2n －48n. n 2 2 S －a 2n －52n ＋50 n n ∴b ＝ ＝ n n n 50 50 ＝2n ＋ －52≥2 2n × －52＝－32 ， n n 50 当且仅当2n ＝ ，即n ＝5 时，等号成立． n 故bn 的最小值为－32. 1 在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这 两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方 程思想的运用． 2 等差数列的性质 * ①若m ，n ，p ，q ∈N ，且m ＋n ＝p ＋q ，则a ＋a ＝a ＋a ； m n p