控制和接口技术-状态方程-20101110-1.ppt

5 线性状态调节器 5.1 引言 线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、外的工程实践中得到应用。原因如下： 1）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。 2）线性系统最优控制的结果，可以在小信号条件下，应用于非线性系统。 3）最优控制器是线性的，易于实现。 4）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，还可以导出经典控制理论的一些特性。 5.2 有限时间状态调节器 线性时变系统的状态方程为 （87） （88） （89） 寻找一个最优控制 ，使 为极小。 其中，x 为n 维状态向量；u 为r 维控制向量，且u 不受限制。 其中，F为 对称半正定常数阵； 为 对称半正定时变阵。 为 对称正定时变阵。 求解这个最优控制问题，可以用极小值原理，也可以用动态规划法。这里用极小值原理来求解。 1）哈密顿函数为 （90） 2）伴随方程为 （91） （92） 3）控制方程为 （93） 故J 取极小值 4）将 代入状态方程得 （94） 初始状态为 （95） 将（90）式至（95）式联立，即可即可求解这个最优控制问题。 另外一种求解方式： 设 （96） 其中， 为待定的 时变阵 （97） （96）式对t 求导，并且将（94）式代入 （91）式可改写成 （98） 比较（97）和（98），可以得到 （99） （100） （99）式称为Riccati微分方程。其边界条件为 得到 （101） 状态反馈的闭环方程为 （102） 其中 （103） 两点说明： 1）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称 因此有 个独立的非线性标量微分方程。 2）最优性能指标为 （104） （证明请见教材228页） 例6 系统状态方程为 求最优控制 ，使性能指标 取极小值。 解 矩阵的黎卡提方程为 求解上面的微分方程，有 其中 即 最优控制为 由 最优轨线为 5.3 无限时间状态调节器 线性时变系统 寻找一个最优控制 ，使J 取极小值 （105） 这里产生一个问题： 时，性能指标是否收敛？ 例如 寻找最优控制 ，使J 取极小值 （106） 根据分析，显然当 时，J 取极小值。 但是 是不能控的状态分量，而且是不稳定的。导致 结论：该问题不存在有意义的解。 如果线性时变系统（105）是能控的，无限时间状态调节器问题一定有解，并且可以通过有限时间状态调节器的解，取 来获得。 其结果为 最优控制 （107） （108） （109） 最优性能指标 （110） 可见，无限时间状态调节器与有限时间最优调节器类似，均可以用状态负反馈构成状态闭环控制。但是反馈增益矩阵是时变的，给工程实践带来不便。 卡尔曼研究了矩阵黎卡提微分方程解的各种性质，得出以下结果： 线性定常系统 （111） （112） （113） 最优控制为 （114） （115） 常数阵 满足如下黎卡提矩阵代数方程 （114）式代入（111）式，得 （116） 最优轨线可以由（116）式和（114）式求出。 最优性能指标 （117） 当这个无限时间状态调节器满足以下条件时，状态反馈增益矩阵才为常数矩阵： 1）系统为线性定常系统； 2）系统为能控； 3）末值时刻 ； 4） J 中不含末值项，即 F = 0 ； 5） Q ，R 为正定阵。 例 7 线性定常系统的状态方程为 ≥0 求最优控制 ，使 J 取极小值。 解 检验系统能控性 能控。 设 代入（115）式黎卡提方程，解得 当 时， ；当 时， 。 5.4 定常情况下状态调节器的稳定性 用李亚普诺夫第二法来研究其稳定性 假设 正定，所以 正定。 取Lyapunov函数 （118） 这里不加证明，给出结论： 使 为正定对称阵的充要条件是： 能观测。其中D 是任意一个使 成立的矩阵。 将（116）式代入（119）式，并且考虑（115）式，有 （120） 由于 Q 和 R 为正定阵，而 阵也为正定 ，则 为负定 因此，定常情况下状态调节器平衡状态