2014世纪金榜第二章 第九节.ppt

【变式备选】(1)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则切线l的方程为_________. 【解析】与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0，即y=x4在某一点的导数为4，而y′=4x3，即4x3=4,解得x=1,所以y=x4在点(1，1)处导数为4，此点的切线方程为4x-y-3=0. 答案：4x-y-3=0 (2)已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－ 3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝_______. 【解析】依题意得2×1－3f(1)＋1＝0，即f(1)＝1，由切线的 斜率 则f′(1)＝ 则f(1)＋f′(1)＝ 答案： 【创新体验】导数中的新定义问题 【典例】(2012·浙江高考)定义曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______. 【思路点拨】 第九节 导数及其运算 1.导数的定义及其几何意义 (1)定义：设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，x0∈(a,b)， 当Δx无限趋近于0时，比值 =________________无限趋近 于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称常数A为函数f(x) 在x=x0处的导数，记作f′(x0). (2)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义 是曲线y=f(x)在点__________处的切线的斜率. (x0,f(x0)) 2.基本初等函数的求导公式 (logax)′= _____________(a＞0,且a≠1) (ln x)′=___ (ax)′=______(a＞0,且a≠1) (ex)′=__ (cos x)′=_______ (sin x)′=______ (xα)′=______(α为常数) C′=__(C为常数) 基本初等函数的求导公式 0 αxα-1 cos x -sin x ex axln a 3.导数的运算法则 若y=f(x)，y=g(x)的导数存在，则 (1)［Cf(x)］′=Cf′(x)(C为常数). (2)[f(x)±g(x)]′=_______________. (3)[f(x)g(x)]′=______________________. (4)[ ]′=___________________________(g(x)≠0). f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (5)若f(x)=a3+2ax-x2，则f′(x)=3a2+2x.( ) 【解析】(1)错误.f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′=0. (2)错误.应先求f′(x)，再求f′(x0). (3)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线，但其交点个数有无数个. (4)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点，但是y=0不是抛物线y2=x的切线. (5)错误.求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.在这里自变量是x而不是a，故f′(x)=-2x+2a. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 1.曲线y=x3-2x在点(1,-1)处的切线方程是_______. 【解析】y′=3x2-2,∴在x=1处切线的斜率k=3×12-2=1,∴在点(1,-1)处的切线方程是y+1=x-1,即x-y-2=0. 答案：x-y-2=0 2.已知函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2,则y′=_________. 【解析】f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)［2(x－a)］＝3(x2－a2). 答案：3(x2－a2) 3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为 那么速率为零的时刻是________. 【解析】s′＝t2－3t＋2，令s′＝0，则t＝1或t＝2. 答案：1秒末和2秒末 4.曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为_______. 【解析】f′(x)＝ln x＋1，f′(1)＝1，f(1)＝0.切线方程为y＝1×(x－1)，即y＝x－1. 答