2014世纪金榜第二章 第三节.ppt

(2)设x＞0,则-x＜0, ∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x. 又f(-x)=-f(x), ∴x＞0时，f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx, ∴a=-1,b=1,∴a+b=0. 答案：0 考向 3 函数的周期性及其应用 【典例3】(1)(2012·浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周 期为2的偶函数，当x∈［0,1］时，f(x)=x+1,则f( )=______. (2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数， 在区间［-1，1］上，f(x)= 其中a,b∈R,若 则a+3b的值为_______. 【思路点拨】(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把 自变量转到区间［0，1］上. (2)利用周期性可知f(-1)=f(1),f( )=f(- )=f( ),列方程 组求解. 【规范解答】(1)∵函数f(x)是周期为2的偶函数， 答案： (2)因为f(x)的周期为2, 所以 即 又因为f(- )=- a+1, ∴3a+2b=-2 ①, 又因为f(-1)=f(1),所以-a+1= ,即b=-2a ②, 将②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10. 答案：-10 【拓展提升】判断函数周期性的几个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有： ①f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它 的一个周期； ②f(x+a)= (a≠0),则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的 一个周期； ③f(x+a)=- ,则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期. 【提醒】应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内. 【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数. (2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式. (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013). 【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数， ∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］, ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 第三节 函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 关于_____ 对称 如果对任意的x∈A,都有_______ ______,那么称y=f(x)是奇函数 奇函数 关于____对称 如果对任意的x∈A,都有______ ______,那么称y=f(x)是偶函数 偶函数 前提：函数y=f(x)的定义域A 关于原点对称 图象 特点 定义 奇偶性 f(-x) =f(x) y轴 f(-x)= -f(x) 原点 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称 函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ___________，那么这个___________就叫做它的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小的正数 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( ) (2)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( ) (4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( ) (5)对于函数y=f(x),x∈(0,+∞),若2是f(x)的一个周期，则-2也是f(x)的一个周期.( ) 【解析】(1)错误.当奇函数的定义域不含0时，则图象不过原点. (2)错误.函数f(x)的定义域不关于原点对称. (3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称，则函数y=f(x)关于直线x=a对称. (4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0，0)中心对称，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称. (5)错误.若-2是函数f(x)的周期，则f(1)=f(1-2)=f(-1)不合题意. 答案：(1)× (2)