2014世纪金榜第八章 第七节.ppt

由a2+b2=c2得，线段PQ的中点坐标可化为 直线F1B的斜率为k= ∴线段PQ的垂直平分线为 令y=0，得x= +c,∴M( +c,0), ∴F2M= 由MF2=F1F2得 即3a2=2c2, 答案： 【拓展提升】 1.利用待定系数法设双曲线方程的技巧 (1)当双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设 为 (mn＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可 设为Ax2+By2=1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便. (2)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 =λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值. 2.双曲线的几何性质的关注点 (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点. (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线. (3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形. 3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意 及判断焦点的位置. (2)已知渐近线方程y=mx(m＞0)求离心率时，当焦点不确定时，m= 或m= 因此离心率有两种可能. 【提醒】双曲线中a，b，c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆. 【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0. (1)求该双曲线的离心率. (2)若双曲线经过点P( 2)，求双曲线的方程. 【解析】(1)当焦点在x轴上时， 即 所以 解得 当焦点在y轴上时， 即 所以 解得 即双曲线的离心率为 或 (2)由双曲线的渐近线方程为2x±3y=0, 可设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点P( 2), ∴4×6-9×4=λ,λ=-12, 故所求双曲线方程为4x2-9y2=-12, 即 考向 3 双曲线与直线及其他圆锥曲线的综合 【典例3】(1)(2012·新课标全国卷改编)等轴双曲线C的中心 在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两 点， AB＝ 则C的实轴长为_______. (2)(2013·南通模拟)已知双曲线 (a0,b0)的两条 渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线与椭圆： 有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为______. 【思路点拨】(1)设出等轴双曲线方程，与抛物线准线方程联 立，求得A，B两点坐标，利用AB＝ 构建方程求解. (2)先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,b的方 程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,从而得解. 【规范解答】(1)不妨设点A的纵坐标大于零. 设C： (a＞0), ∵抛物线y2=16x的准线为x=-4, 联立得方程组 解得： ∴ 解得a=2,∴2a=4. ∴C的实轴长为4. 答案:4 (2)圆C：x2+y2-6x+5=0可化为：(x-3)2+y2=4. 所以其圆心C(3,0),半径r=2, 双曲线 的渐近线方程是：bx±ay=0, 又渐近线与圆相切，所以 ① 又椭圆 的焦点为(-3,0),(3,0), ∴双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),即a2+b2=c2=9 ② 由①②得b=2,c=3,a2=5. ∴双曲线的标准方程为： 答案： 【拓展提升】 1.解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法与技巧 (1)通法：将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x,y)=0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程.解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题. (2)点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解. 【提醒】利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0. 2.解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略 (1)以图助解，数形结合. (2)各个击破. 第七节 双曲线 1.双曲线的相关概念 (1)双曲线的定义： 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 ①在平面内；②动点到两定点的距离_____________为一定 值；③这一定值一定要_____两定点的距离. (2)焦点：两个_____称为双曲线的焦点. (3)焦距：_______间的距离. 之差的绝对值 小于 定点 两焦点 _________ (a0，b0) _________(a0，b0)