Grunwald-Letnikov分数阶导数的理论分析.pdf

第27卷 哈尔滨师范大学 自然科学学报 Vo1．27，No．32011 第3期 NATURALSCIENCESJ0URNALOFHARBIN NORMALUNIVERSITY Grunwald—Letnikov分数阶导数的理论分析术 马芳芳，靳丹丹，么焕民一 (哈尔滨师范大学) 【摘要】 通过整数阶导数的定义给出了Grunwald—Letnikov分数阶导数定义 以及幂函数的分数阶导数的表达式．研究并指明分数阶导数也有与整数阶类似的 }生质，线性与莱布尼茨法则，得出结论：在一定条件下，分数阶导数与整数阶导数可 交换 ，给 出了具体 实例． 关键词：分数阶导数；莱布尼茨法则 ’ 。D t)= imf：(t)= n — }∞ nh t一 0 引言 P k 1 + ，1(一 + + ) 。厂(一 +m+1)一× P 迄今为止，常用的分数阶导数的定义大概有 四种 ：Riemann—Liouville，Grunwald—Letnikov， f(一)一J厂『 “’()dr (1) Caputo，Miller—RossSequention分数阶导数，在 其 中／ ’(t)= n( 文献 [1—4]中给出了分数阶微积分的各种定义 一 1)(：(—r)． 和性质．在最近几十年里，研究者们发现，分数阶 幂函数 t)=(t—a)的分数阶导数的表达 微积分算子不同于整数阶微积分算子，且有非局 式 ： 部性，于是很适合描述现实世界中具有记忆和遗 传性质的材料，相对于整数阶模型，分数阶模型 。 (一口) =7 (一。)一p 简直可以说是完美．与整数阶微积分模型相比， (2) 在随机游走 ，粘弹性力学 ，工程学 等很多 这里 (p0，一1)或者(O≤m≤Pm+1， 的科学领域 中起着重要作用．所 以，越来越多的 V m、． 学者开始研究分数阶导数，分数阶导数的理论也 性质 1 (线性)类似于整数阶导数，分数阶 正在被逐步完善 ． 导数是线性运算： D (af(t)+txg(t))=ADPf(t)+txDPg(t) 1 Grunwald—Letnikov分数阶导数 (3) 定义及性质 · 性质2 (分数阶导数的莱布尼茨法则)对 定义 (Grunwald—Le