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函数的对称问题 湖南 彭向阳 函数的自对称问题 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称f(a+x)=f(a-x)； 特别，函数y=f(x)的图象关于y轴对称f(x)=f(-x). 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称f(a+x)+f(a-x)=2b； 特别，函数y=f(x)的图象关于原点对称f(-x)=-f(x). 主要题型： 1.求对称轴(中心)：除了三角函数y=sinx，y=cosx的对称轴（中心）可以由下列结论直接写出来(对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x轴的交点)外，其它函数的对称轴(中心)就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解. 例1 确定函数的图象的对称中心. 解析1 设函数的图象的对称中心为（h，k），在图象上任意取一点P（x，y），它关于（h，k）的对称点为Q（2h-x，2k-y），Q点也在图象上，即有 ，由于，两式相加得 ，化简得 （*）. 由于P点的任意性，即（*）式对任意x都成立，从而必有x的系数和常数项都为0，即h=1，k=1. 所以函数的图象的对称中心为（1,1）. 解析2 设函数，则g(x)为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x)的图象是由g(x)的图象分别向右、向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点(1,1). 所以函数的图象的对称中心为（1,1）. 例2 曲线f(x)=ax3+bx2+cx，当x=1-时，f(x)有极小值；当x=1+时，f(x)有极大值，且在x=1处切线的斜率为. (1)求f(x)； (2)曲线上是否存在一点P，使得y=f(x)的图象关于点P中心对称？若存在，求出点P的坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由. 解析 (1)=3ax2+2bx+c，由题意知1-与1+是=3ax2+2bx+c=0的根，代入解得b=-3a，c=-6a. 又f(x) 在x=1处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得 . 所以f(x) . (2)假设存在P(x0，y0)，使得f(x)的图象关于点P中心对称，则f(x0+x)+f(x0-x)=2y0， 即， 化简得. 由于是对任意实数x都成立，所以 ，而P在曲线y=f(x)上. 所以曲线上存在点P，使得y=f(x)的图象关于点P中心对称. 2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论(函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称f(a+x)+f(a-x)=2b)来解决. 例3 求证函数的图象关于点P（1,3）成中心对称. 证明1 在函数的图象上任意取一点A（x，y），它关于点P（1,3）的对称点为B（2-x，6-y），因为 ， 所以点B在函数的图象上，故函数的图象关于点P（1,3）对称. 证明2 因为. 由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移1个单位，向上平移3个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P（1,3）对称. 所以的图象关于点P（1,3）对称. 已知函数的对称性求函数的值或参数的值: 由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解.例4 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点对称，且满足 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)的值为（ ）. A．-2 B.-1 C.0 D.1 解析 由f(x)的图象关于点对称，则说明函数是奇函数，也就是有，即，又，所以，即，函数f(x)是偶函数. 所以，又，即f(x)以3为周期，f(2)=f(-1)=1，f(3)=f(0)=-2， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)=668（f(1)+f(2)+f(3)）+f(2005)=f(2005)=f(1)=1，选D. 例5 已知函数f(x)=的图象关于点中心对称，求f(x). 解析1 设f(x)图象上任意一点A（x，y），它关于点的对称点为B，由于A、B都在f(x)上，所以，相加整理得，解得a=1. 所以f(x)=. 解析2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1. 解析3 由题意知将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即y=，它是奇函数必须常数项为0，即a=1. 函数的互对称问题 y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=a对称f(a+x)=g(a-x)； y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=b对称f(x)+g(x)=2b； y=f(x)与y=g(x)的图象关于点(a，b)对称f(a+x)+g(a-x)=2b.