指数函数(高考一轮).pptVIP

指数与指数函数 广饶一中 吴兴昌 类型一:指数幂的运算解题准备:在有关根式?分数指数幂的变形?求值过程中要注意运用方程的观点处理问题,通过解方程(组)来求值,或用换元法转化为方程求解. 典例1(2010·广州)下表给出了x与10x的七组近似对应值: [解析]通过数表寻求数值之间的关联.显然这种数值关联从10x的值入手比较容易.联想幂的运算法则,知 ,即x1与 对应,x2与 对立,x1+x2与 对立.∵8=23,∴应该有0.90309=0.30103×3,10=2×5,∴应该有0.30103+0.69897=1.00000,显然这些成立.但∵2×3=6,0.30103+0.47711=0.77815不成立,而2×6=12,0.30103+0.77815=1.07918成立,在有且仅有一组错误的前提下,只有第二组是错误的. [评析]在高考中,一般较小限制直接考查指数式运算的试题,而是把对它的考查置于指数函数的考查之中,也就是在考查指数函数的同时,考查幂的运算能力.在解决分数指数幂的运算时,应注意如下几点:(1)尽量将根式?小数指数幂统一为分数指数幂;(2)尽量运用乘法公式;(3)对于有些指数式的问题,有时应转化为对数;(4)注意整体代换思想在指数式运算中的应用. [探究1] 化简下列各式: 解： [评析]将根式化为分数指数幂,按分数指数幂的运算性质进行运算.对于结果的形式,如果题目是以根式的形式给出的,则结果用根式的形式表示,如果题目以分数指数幂的形式给出的,则结果用分数指数幂的形式表示.结果不要同时含有根号和分数指数幂,也不要既有分母又含有负指数幂. 类型二:指数函数的图象的应用解题准备:指数函数图象的特点(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,则0cd1ab.在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小;即无论在y轴的左侧还是右侧,底数近逆时针方向变大.(2)指数函数y=ax与y=( )x(a0且a≠1)的图象关于y轴对称. 典例2已知函数 ,(1)作出图象;(2)指出该函数的单调递增区间;(3)求值域. [解](1)由函数解析式可得其图象分成两部分:一部分是 的图象,由下列变换可得到:另一部分y=2x+2(x-2)的图象. 由下列变换可得到:如图为函数 的图象.(2)由图象观察知函数在(-∞,-2)上是增函数.(3)由图象观察知,x=-2时,函数 有最大值,最大值为1,没有最小值,故其值域为(0,1]. [评析]本例也可以不考虑去掉绝对值符号,而是直接用图象变换(平移?伸缩?对称)作出,作法如下: 类型三:指数函数的性质解题准备:(1)复合函数问题,应细致分析由哪些基本函数复合而成,讨论此类函数的单调性应分层逐一求解;(2)换元法,通过换元将复杂的问题简单化,求解过程应注意中间变量的取值范围及转化的等价性. 典例3(1)求函数 的定义域?值域并求其单调区间;(2)求函数f(x)=4x-2x+1-5的定义域?值域及单调区间. 解：(1)要使函数有意义,则只需-x2-3x+4≥0,即x2+3x-4≤0,解得-4≤x≤1,∴函数的定义域为{x|-4≤x≤1}.令t=-x2-3x+4,则t=-x2-3x+4=-(x+ )2+ ,∴当-4≤x≤1时,tmax= ,此时x=- ,tmin=0,此时x=-4或x=1,∴0≤t≤ , ∴∴函数 的值域为由t=-x2-3x+4=-(x+ )2+ (-4≤x≤1)可知,当-4≤x≤- 时,t是增函数,当- ≤x≤1 时,t是减函数. 根据复合函数的单调性知:在 上是减函数,在 上是增函数. (2)由函数解析式可知定义域为R,∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,则t0,f(t)=t2-2t-5,故f(t)=(t-1)2-6.又∵t0,∴当t=1时,ymin=-6,故函数f(x)的值域 . 由于t＝2ｘ是增函数，∴要求ｆ(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间，求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间．∵f(t)在(0,1］上递减，在［1,＋∞)上递增．故由t＝2ｘ≥1得x≥0；由t＝2x≤1得x≤0，∴f（x）的增区间是［0,＋∞)，减区间是(－∞,0］． 探究2 已知(1)