4.2勒贝格积分的极限定理.pdfVIP

§4 ．2 Lebesgue 积分的极限定理 教学目的 本节讨论关于积分号下取极限的性质，即取极限 和求积分交换顺序的定理．内容包括三个重要的定理以及一 些推论． 本节要点 积分的极限定理有三个重要定理，即控制收敛定 理，单调收敛（Levi ）定理，Fatou 引理，它们分别适用于 不同的情况．学习本节的内容应注意分清各个定理的条件和 结论． 在 Riemann 积分中，极限与积分交换次序问题需要加很 强的条件，如一致收敛．而在这一节里同学们将会看到新的 积分在处理积分和极限交换次序时，所要求的条件比 Riemann 积分要弱得多，这也正是 Lebesgue 积分最大的成功 之处，所以本节中的一些基本定理在一般分析数学中被经常 引用． 一． 控制收敛定理 不妨设mE  ，函数序列{f (x )}一致收敛到f (x) ， n {f (x )} f (x) n ， Lebesgue 可积，于是  0 ，N ，当n N 时， 对一切x E ，有 f (x) f (x)  ， n 即 f (x)  f (x)  ． n 山东农业大学 数学系 于瑞林 显然 在 上可积，故 实际上是被一个可积函数 f (x)  E f (x) n 控制住了．现我们降低要求，假定{f (x )}不一致收敛，但可 n 由某个可积函数F(x) 控制，此时极限和积分能否交换顺序 呢？我们仍不妨设mE  ， f (x) F (x) ，ae. 于 E ， n f (x) f (x) ， 于 ，F(x) 在 上可积，现考察此时是否 ae. E E n 有 lim f (xdx)  lim f (x)dx  f (xdx) （4.2.1 ） n E n E n n E 成立？ 根据 Egroff 定理，   0 ， ，使 在 E  E {f (x )} E E  n  上一致收敛到f (x) ，且mE  ．因此，在E E 上显然有等   式（4 ．2 ．1）成立．所以问题转化为在E 上是否有等式（4 ．2 ．1）  成立？由于 f (x) F (x) ， 于 ，于是 ae. E n f (xdx)  f (xdx)  f (x)dx 