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• 5.1 Picard 存在唯存在唯一性定性定理
中心定理−毕卡存在唯一性定理的叙述
定理定理55.11 考虑初值问题考虑初值问题
dy
((EE)) ff ((xx,, yy),), y(xy(x )) yy ,,
00 00
dx
其中f ((x,, yy))在矩形区域
R ：| x −x 0 |≤a, | y −y0 |≤b
内连续内连续，且对且对y满足满足LL - 条件条件
⇒⇒则((E))在区间I [[x 00 −h,, x 00 +h]]上有并且
只有一个解，其中常数
bb
h min {a, }, M max (x,y)∈R | f (x, y) | .
M
对中对中心定定理的认识的认识：
1定理中的h 是如何算出来的？
22.命题命题：((EE))过过((x , y ))的解位于由直线的解位于由直线
0 0
y −y M(x −x ), y −y −M(x −x ),
0 0 0 0
所围的扇形区域内.
33.hh 的值的值一般而言比较小般而言比较小，因此定理给出因此定理给出
了一个局部的存在唯一性结论.
x
yy yy0 ++ ff ((ss, yy((ss))))dsds.
∫∫
x 0
定理的证明分四个步骤：
一写出与初值问题等价的积分方程
x
y y0 + f (s, y(s))ds.
∫
x 0
二.做迭代迭代函数列数列，并确定并确定每每项的性质的性质
三证明上述函数列在三证明上述函数列在II 内内一致收敛致收敛,,从而解决从而解决
解的存在性问题.
四.证明初值问题的解唯一.
与初值问题等价的积分方程
x
y y0 + ff ((s, y((s))))dds
∫∫
x 0
四.证明初值问题的解唯证明初值问题的解唯一性性.
假设y ϕ(x), y ψ(x)，| x - x0 |≤δ(δ0),是原初值
xx
问题的解, 于是ϕ(x) y0 + f (s,ϕ(s))ds,
∫∫
x 0
x
ψ((x)) y0 + ff ((s,ψ((s))))dds,
∫∫
x 0
x
⇒⇒|| ϕϕ(x)(x) - ψψ(x)(x) || ||∫∫ [f[f ((ss,ϕϕ((ss)))) −ff ((s
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