一类绝对值不等式恒成立的等价性探究.pdfVIP

2015年 第 54卷 第 3期 数学通报 47 一 类绝对值不等式恒成立的等价性探究 刘鸿春 (江苏省高邮市第一 中学 22560o) 1 问题提出 文的最后给出． 在教学 中，有学生提出下列 同一类型的两个 2 主要结果 问题 (见下面例 1和例 2)，他们用 同一原理解 引理 1 设 ／’()，g()为定义在区间A上 题 ，可是一个结论正确 ，一个结论错误 ，到底是 的函数 ， ()是连续 函数 ，且满足 _厂()+g(z) 什么原因? ≥0．则VzEA，厂()O或 g(z)0成立 的充 例 1 已知不等式 fa一2xl 一1对 zE 要条件为 VzEA，／()0或 V EA，g() [o，2]恒成立 ，则实数 口的取值范围是 ． 0． 学生的解答如下 ： 证 明 充分性是显然的，下面只证必要性． la一23：1 一1 反证法 ： ㈢口一2：r 一1或 a一2：r 一(一1) 假设结论不成立 ， 甘口3 一1或 a1+ ． 即 了 EA，f(x)≥0， ① VzEEo，2]，a3x一1甘a(3x一1)… 一5； 且 ]zEA，g(x。)≥O． ② VzEFo，2]，a1+z目口 (1+z)…一1． 由于Vz∈A，厂(z)O或 g()0， 综上 ：实数 的取值范围是n5或 a1． 故 f(sc2)O，从而 -，’(J)f(x2)≤O． 例 2(2012南京三模)若不等式 1a．T一lnz1 又由于 f(．2C)是 区间A 上的连续 函数 ，故 ≥1对任意 E (0，1]都成立 ，则实数 a取值范 ． ，’(z)在 区间A上存在零点，即存在 EA，使 围是 ． 得 f(x。)一0，又在区间A 上，厂(z)+g(z)≥O， 学生 的解答如下 ： 则 g(z。)≥0．而 f(x。)===0且 g(zo)≥0与V E V E(0，1]， la．T。一lnxl≥1 A，厂()O或 g()0矛盾 ，故假设不成立， 甘 V E (0，1]，ax。一lnx≥1 从而结论成立． 或 口 一ln：c≤一1． 将引理 1中 ，(z)和 g(32)分别用一，(z)和 下略． 一 g(sc)代换 ，可得下面的结论 ： 分析 学生 的例 1解答错误．错 因在 于将 推论 l 设 f(3c)，g()为定义在 区间A上 V EFo，2]，a3or～1或 a1+ 和 VzE 的函数 ，厂()是连续函数 ，且满足 厂(z)+g() [O，2]，a~3x--1或 Vz∈Fo，2]，口1+_z混 ≤0．则 V EA，-厂()0或 g()O成立的充 为一谈．它们并非是一回事．但例 2用这个逻辑 要条件为 V EA，f(z)0或 V,32EA，g(-z) 却能得到正确 的结果．这是巧合?还是在一定的 0． 条件下可以等价?本文就对此进行一般性的探究． 引理 2 设 f(x)，g()为定义在 区间A 上 评注 文[1]和