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6 中 等 数 学 一 个重要的二元二次不定方程——佩尔方程 王 连 笑 (天津市实验 中学，300074) 中图分类号：0151．1 文献标识码 ：A 文章编号：1005—6416(2010)06-O006-05 (本讲适合高中) 则形如 一 oy=l ② 1’从变三角队为方队谈起 的方程叫做佩尔方程． 一 所学校运动会的团体操表演 ，有这样 如果(．，Y．)是使 ．最小的方程②的解 一 个场面，运动员站成了第 1排 1人，第2排 (称为最小解)，则每个解( ，Y)都可以取幂 2人，第3排 3人，……第 n排 n人的正二三角 得到 形队型，忽然，又变成了每排m人的正方形 + y=(．+ y)(JIc∈N+)．③ 队型． 证明 若( ，Y)是方程②的解，则 问题 ：是不是每一个正 角形队型都能 1： 一 ： 变成正方形队型呢? 显然不行，例如，第 l排 1人，第 2排 2 = ( + Dy)( 一 Dy)． 人，……第 l0排 l0人的正三角形队型，就变 假设解 + y不能表示为式③的形 不成正方形队型，因为此时的总人数为 式，南(．，Y．)的最小性可知 ， l+2+… +10=55． +joy≥ l+√y1． 而如果站成 8排的正 角形 队型，南于 又南假设，存在f∈N+，使得 1+2+…+8=36=6，就可以变成每排 6人 (．+Joy1) +~／Dy 的正方形队型． (。+ I)“， 于是 ，问题化为求方程 (l+ y1)(l一 1) ( + )(l一 y1) 的正整数解组(m，凡)． (．+ )，。)¨(l一 。)， 下面就研究这个问题． ( 一 ) 方程化为8m =4n+4n=(2n+1)一1． 设 =2n+1，Y=2m．则方程化为 ( + ，，)(．一 ，，。) 一 2y=1． ① (。+西 ．)(一 2。)， 方程①显然有一组解(，Y)=(3，2)． 1( + )(I一 1) 是否只有这一组解呢?是否有无穷多组 l+西 I． 解呢?如何求这些解呢? 不妨设 这涉及到一类