一堂妙趣横生的竞赛课堂与课后.pdfVIP

6——4o 数学教学 2014年第6期 一 堂妙趣横生的竞赛课堂与课后 510530 广东省广州市第二中学 程汉波 450001 河南省郑州外国语学校 杨春波 生活告诉我们：一件很小的东西里能隐藏 评析：由条件、／／0+b2+C=1的结构联 着很深的道理；一件很平凡的事情里能寓存着 想到球 的参数方程，于是进行三角代换．配 大智慧．人生如此，数学亦应如此，从一道小题 凑 (2一COS)堪为上述证法中最精彩的一笔， 之 中，你可以见识数学思想方法的深邃，你可 令人拍案叫绝． 以领略某些解法的精妙，你可以窥见命题人那 学生们发 自内心地为这一巧妙予 以第一 火热的思考 ． 次热烈 的掌声．老师进行评析后要求学生继 在华 中师大本科生专业选修课 《竞赛数 续研讨该题，班级再次陷入了宁静．又过 了大 学》的课堂上，老师给学生展示了如 下一道不 概 10分钟，学生A再次举手．老师再次让他站 等式试题供学生研讨．整节课一波三折，妙趣 横生，班级学生三次 自发地热烈的鼓掌． 起来展示其新得到的证法2． 题 目 设a、b、C∈R+，且、／／n +b2+ 证法2：、／／ 干 +C：1即0+b2：f1一 c)，考虑代换：1-c= ·，a=rcos0，b=rsin0， c：1，求证：ab+2ac≤ ． 课堂开始悄无声息，“高手们”均沉默着、 其中7∈(0，1)，0∈(0，)．于是有 思考着，大概 15分钟后，坐在前排的学生A突 n6+2ac=r。sin0COS0+2r(1一r1COS0 然激动地要求发言，老师让他把 自己发现的证 =COSO(sin0—2)r+2rcos0． 法展示给全班同学． 记f(r)=COSO(sin0—2)r+2rCOS0，r∈(0，1)， 证法 1：设a=COS2OLsin ：COS0QCOS ， 它是以7’==： 为对称轴，开 口向下的二 c=sin，其中Q、 ∈(0，7rJ，则 06+2ac=a(b+2c1 次函数，易知厂．r()有最大值_厂( )==： ：COS2 sin (c0s COS +2sin2 ) ． 再 ㈣= ，0∈(0，)， = (2--COS os2 易知g(0)≤go，得证． fCOS2OzCOS +2sin2Oz1 评析：将条件变形得a+b= (1一c)，由 = (2c。s2 —c。s2 c。s) 此联想到圆柱的参数方程，并进行三角代换， fCOS2 COS +2sin2O1) 证法2于此处较证法 1更简洁些，但殊途同归： ≤sin3／( + 该证法在面对二元最值问题时，运用 “多个变 C