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高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解
一、选择题
1.(2010·湖南文,4)极坐标方程ρ=cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A.直线、直线 B.直线、圆
C.圆、圆 D.圆、直线
[答案] D
[解析] 由ρ=cosθ得ρ2=ρcosθ,∴x2+y2-x=0.此方程所表示的图形是圆.
消去方程中的参数t可得,x+y-1=0,此方程所表示的图形是直线.
2.(2010·北京市延庆县模考)下列参数方程(t为参数)中,与方程y2=x表示同一曲线的是( )
A. B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 将t=x代入y=t2得,y=x2,故A错,将tant=y代入x=tan2t中得,x=y2,∵tant∈R,故B正确,C、D容易判断都是错的.
[点评] 注意C中,消去t得y=,平方得y2=|x|,∵y2≥0限定了x的取值必须非负,∴y2=x,但由于y=,故它必须满足y≥0,而y2=x中的y∈R.
3.将曲线y=sin3x变为y=sinx的伸缩变换是( )
A. B.
C.
D.
[答案] D
4.(2010·延边州质检)直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长为( )
A.2 B.
C.4 D.2
[答案] A
[解析] 将直线化为普通方程得x+y=2,
将圆化为普通方程得x2+y2=9.
圆心O到直线的距离d==,
所以弦长l=2=2.
5.(2010·安徽合肥六中)已知圆C的参数方程为
(α为参数),当圆心C到直线kx+y+4=0的距离最大时,k的值为( )
A. B.
C.- D.-
[答案] D
[解析] ⊙O的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=1,∴圆心C(-1,1),又直线kx+y+4=0过定点A(0,-4),故当CA与直线kx+y+4=0垂直时,圆心C到直线距离最大,∵kCA=-5,∴-k=,∴k=-.
6.(2010·重庆一中)曲线x2+y2=4与曲线(θ∈[0,2π))关于直线l对称,则l的方程为( )
A.y=x-2 B.y=x
C.y=-x+2 D.y=x+2
[答案] D
[解析] 圆x2+y2=4的圆心C(0,0),
圆,θ∈[0,2π)的圆心O(-2,2),
∵⊙O与⊙C关于直线l对称,∴l为线段OC的中垂线,
∵kOC=-1,∴kl=1,
∴l方程为:y-1=x-(-1),即y=x+2.
二、填空题
7.(2010·广东罗湖区调研、中山市、惠州一中模拟)在极坐标系中,过圆ρ=6cosθ的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________.
[答案] ρcosθ=3
[解析] 解法一:圆ρ=6cosθ的圆心极坐标(3,0),
∴直线l方程为ρcosθ=3.
解法二:由ρ2=6ρcosθ得x2+y2=6x,圆心C(3,0),
∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为x=3,其极坐标方程为ρcosθ=3.
[点评] 1.在极坐标方程不熟练的情况下,化为直角坐标方程求解后,再化为极坐标形式是基本方法,故应熟记互化公式.
2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式,对提高解题速度至关重要.
8.(2010·广东佛山顺德区质检)若直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截,则截得的弦的长度是________.
[答案]
[解析] 直线化为x+2y+3=0;
圆化为(x-1)2+(y-1)2=9,
圆心C(1,1)到直线x+2y+3=0距离d=,半径r=3,
∴弦长为2=.
9.以椭圆+=1的焦点为焦点,以直线为渐近线的双曲线的参数方程为________________.
[答案] (θ≠kπ+)
[解析] ∵椭圆的焦点(±3,0),∴双曲线中c=3,
又直线化为y=2x,它是双曲线的渐近线,
∴=2,∴a2=1,b2=8,∴a=1,b=2,
∴双曲线的参数方程为(θ≠kπ+).
10.(2010·惠州质检)直线(t为参数)的倾斜角是________.
[答案] 50°
[解析] 解法一:当x≠3时,=tan230°=tan(180°+50°)=tan50°,
∴直线倾斜角是50°.
解法二:方程化为,
∴倾斜角为50°.
11.(2010·江门市质检)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是(m是常数,θ∈(-π,π]是参数),若曲线C与x轴相切,则m=________.
[答案] ±1
[解析] ∵⊙C:x2+(y-m)2=1与x轴相切,
∴m=±1.
12.(2010·广东玉湖中学)椭圆的离心率是________.
[答案]
[解析] 由已知可得椭圆的普通方程为+=1,
∴a=4,b=3,c=,e==.
13.(2010·北京顺义一中月考)已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:(t为参数),则C1与C2的
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