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直升考、中考集训（一） 【小故事】 无理数的发现 第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。 　　 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 一、填空题（本题共10题，每题3分，共30分。把答案填写在题中的横线上） 1.不等式组的解集是____________。 2.分解因式得____________。 3.已知正三角形的边长为a,其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R,则r:a:R等于____________。 4.当时，代数式的值为2003，则当时，代数式的值为____________。 5.如图，A、B、C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC=， ∠CBD的度数为____________。 6.圆的弦与直径相交成角，并且分直径为8厘米和2厘米两部分， 则弦心距等于____________厘米。 7.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且㎝， ㎝，则该梯形的中位线的长等于____________㎝。 8.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于 该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，则至少 可打____________折。 9.给出五种图形：（1）矩形，（2）菱形，（3）等腰三角形（腰与底边不相等），（4）等边三角形，（5）平行四边形（不含矩形、菱形）。其中可用两块能完全重合的含有角的三角板拼成的所有图形是（将你认为可能的结论的序号都填在横线上）____________。 10.如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是AN的中点，P点是直径MN 上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为____________。 二、解答题（共8小题） 11.先化简，再注值： ，其中。 12.（1）a克糖水中有b克糖,则糖的质量与糖水质量的比为____________；若再添加c克糖,则糖的质量与糖水质量的比为____________。生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据前面所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式____________。（请将结论填写在下面解题区域指定的横线上） （2）如图，在直角三角形ABC中，延长BA、BC，使AE=CD=c,直线CA、DE交于点F。 13.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如右图所示。 （1）请填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环 以上次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 6.5 3 （2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析（结论正确且理由合理，每个问题1分） ①从平均数和方差相结合看： ②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）： ③从平均数和命9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）： ④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）： 14.已知等边和点P，设点P到三边AB、AC、BC的距离分别为、、,的高为h。 “若点p在一边BC上（如图1），此时=0,可得结论：”。 请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P在内（如图2）、点P在外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明。 15. 序号 方 程 方程的解 1 ________ ________ 2 _______