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第十五章推理与证明
(一)合情推理与演绎推理
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(二)直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。
(三)数学归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题推理与证明推理与证明
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理;
2.合情推理包括 和 ;
归纳推理:从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是: 、 、 .
类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也 或 ,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程是: 、 、 .
3.演绎推理:演绎推理是 ,按照严格的逻辑法则得到的 推理过程;三段论常用格式为:①M是P,② ,③S是P;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;②是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.
例1. 已知:;
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:
________________________________________=( * )并给出( * )式的证明
解:一般形式:
证明:左边 =
=
=
= =
(将一般形式写成
等均正确。)
变式训练1:设,,n∈N,则
解:,由归纳推理可知其周期是4
例2. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,
按图所标边长,由勾股定理有:
设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .
解:。
变式训练2:在△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆的半径,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。
答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形,
所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。
取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,
则此三棱锥的外接球的半径是。
例3. 请你把不等式“若是正实数,则有”推广到一般情形,并证明你的结论。
答案: 推广的结论:若 都是正数,
证明: ∵都是正数 ∴ ,
………,,
变式训练3:观察式子:,…,则可归纳出式子为( )
A、 B、
C、 D、
答案:C。解析:用n=2代入选项判断。
例4. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线
平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为 ( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
答案:A。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
变式训练4:“AC,BD是菱形ABCD的对角线,AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。
答案:菱形对角线互相垂直且平分
第2课时 直接证明与间接证明⑴
1.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明;
直接证明的两种基本方法——分析法和综合法
⑴ 综合法 —— ;⑵分析法 —— ;? ? ?
2. 间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证
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