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CH3: Z变换 [5] Z域微分特性（续） 证明： [5] Z域微分特性（续） [6] 共轭特性 假设序列x(n) ，则 [6] 共轭特性（续） 证明： ROC问题：相同 [7] 实部与虚部序列 设序列x(n)的实部和虚部分别是Re{}和Im{} ，则 南京大学 计算机科学与技术系 主讲教师：王崇骏 主要内容 [1] Z变换的定义 [2] Z变换的性质 Z变换定义 一个序列x(n)的Z变换定义如下： 其中z是复变量。对于X(z)存在的z集合称为收敛域（ROC），并由下式给出： Z变换定义（续一） 1）复变量z称为复频率，其定义是： 其中|z|是衰减（阻尼），w是实频率 Z变换定义（续二） 1）由于ROC是用幅度定义的： 所以ROC的形状是某个圆环（圆） Z变换定义（续三） 1）如果： 那么ROC是一个零空间，Z变换不存在 Z变换定义（续四） 1）如果ROC包括单位圆，那么就能在单位圆上对X(z)求值： （这是离散时间傅立叶变换，后文详述） Z变换定义（续五） 1）双边Z变换 2）右边序列：对 时候x(n)=0，其Z变换 3）左边序列：对 时候x(n)=0，其Z变换 Z变换定义（续六） 2）有限长序列：对nn0且nn1时候x(n)=0，其Z变换 例题 其收敛域应包括 即 充满整个Z平面。 求序列 的Z变换及收敛域。 解：这相当 时的有限长序列， 例3-1 令 ，求其Z变换。 极限存在的条件是： 例3-1（续) 例3-2 令 ，求其Z变换。 复习： 极限存在的条件是： 例3-2（续) 比较例3-1和例3-2可以发现，两者的z变换表达式一样，但是收敛域不一样。 ROC是保证Z变换唯一性的特征。 例3-3 令 ，其中， 求其Z变换。 利用例3-1和例3-2的结果： 例3-2（续) 比较例3-1和例3-2可以发现，两者的z变换形式一样，但是收敛域不一样。 ROC是保证Z变换唯一性的特征。 零点和极点 当X(z)表示为多项式之比时，即： 将多项式N(z)的根称为X(z)的零点 将多项式D(z)的根称为X(z)的极点，那么： 其中，Pk是mk阶极点数 X(z)的收敛域一定不包含极点。 几个结论 对于右边序列，其ROC总是位于半径为Rx-的圆外，其极点肯定在此圆内； 对于左边序列，其ROC总是位于半径为Rx+的圆内，其极点肯定在此圆外； 对于双边序列，其ROC总是位于介于Rx-和Rx—+之间的圆环，其极点在此圆环外； 几个结论（续） 至少有一个极点是位于 一个有理X(z)的ROC边界上； ROC是一个连通的区域，不会分成几片； Z变换的性质 [1] 线性 [2] 时间反转特性 [3] 移位特性 [4] 尺度变换特征 [5] z域微分 [6] 共轭特性 [7] 实部和虚部序列 [8] 卷积定理 [1] 线性 假设两个序列x1(n)和x2(n)和任意常数k1，k2，则 [1] 线性（续） 证明： [例2-7]已知 ,求其z变换。 解： [2] 时间反转特性 假设序列x(n) ，则 [2] 时间反转特性（续） 证明： ROC问题： [3] 移位特性 假设序列x(n) ，则 [3] 移位特性（续） 证明： ROC问题：与 相乘可能引入或去除 处的极点，因此，此时可能会有例外。 [4] 尺度变换特性 假设序列x(n) ，则 [4] 尺度变换特性（续） 证明： ROC问题： [5] Z域微分特性 假设序列x(n) ，则 * *