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Hilbert第三问题——代数与几何结合的典范.pdf

50 数学通报 2010年 第49卷 第 6期 Hilbert第三问题 代数与几何结合的典范 张广祥 (西南大学数学与统计学院 400715) 1 对创新教学的思考 ABC的角A互补 ,因此称为补三角形. 近十年来 的课程改革 ,一个最重要的 目标就 注2 当三角形ABC是直角三角形时 ,其补 是引入创新教学 的理念与教学思想.教学工作不 三角形与自己完全相 同,这时平行四边形 STCB 同于通常的职业工作 ,教学需要用教师的不断创 是正方形.因此定理 1是勾股定理的推广. 新去引导和启发学生的创新 ,教师必须有能力把 创新的目标转化为实际的创新行为,这一要求对 于教师具有一定的挑战性.《普通高中数学课程标 准》课程基本理念指 出:“学生的学习活动不应只 限于接受、记忆 、模仿和练习,高中数学课程还应 提倡 自主探索、动手实践、合作交流 、阅读 自学等 学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习 的主动性 ,使学生 的学习过程成为在教师引导下 的再创造过程”. 图 1 补三角形结构 下面我们以中学几何中最基本的勾股定理为 证明 延长 PA交 ST于Q、交 BC于R,不 例来说明教师的知识深度以及不断提出问题和解 难看 出AB与AC边上的两正方形面积之和一平 决问题的意识是创新教学最重要 因素.虽然本文 行四边形 SQRB与QTCR面积之和一平行 四边 涉及到希尔伯特多边形剖分定理与希尔伯特第三 形 S丁CB面积. 问题 ,看起来有点远离中学数学课程.但是 ,一方 定理 2 设△ABC三边长a6≥c,则 面我们的问题基本上都是围绕勾股定理而 自然发 (1)6+ca(三角形两边之和大于第三边); 生.另一方面,教师了解现代数学的这些结果和方 (2)存在实数 s1使 口一b+ ; 法,对于更好地理解数学很有帮助. (3)△ABC是锐、直、钝角三角形 当且仅 当 s 2 从勾股定理的推广 2、5—2、s2(分别). 首先我们探讨从几何与代数两个不同角度推 证明 因为6/n,c/a1,故指数函数f1, 广勾股定理 ,我们有下面定义. 定义 1 设 ABC是一个任意的三角形,在两 (詈)是单减函数,而,(s)一一(鲁)一(詈) 条边 AB与AC上向三角形外作正方形 (如图 1), 是单增连续函数.厂(1)0,但 当5log导2,log_~2 得三角形ADE,称之为三角形 ABC的补三角形. 定理 1 三角形ABC中,若 BC是最长边,则 时(),(詈)1/2,厂(s)0.故存在实数s1 顶点A 上 的补三角形ADE过A 的外接 圆直径 使 a一 + .若 s2,则ar。 (6+f。--a。)一 AP平行移动到 B、C外侧所 围成的平行 四边形 n一。·(6。+c。)一 ( +C)一b (a --b 。)+ STCB面积等于顶点A 的两邻边上正方形面积 c(口一 一C )0,故 b。+c--a0,于是 之和.

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