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基于MATLAB在傅里叶变换中的应用 樊（学号：） （学院 专业 班） 摘 要：MATLAB自推出以来就受到广泛的关注，其强大的扩转功能为各个领域的应用提供了有力的工具。信号处理箱就是其中之一。在信号处理工具箱中，MATLAB提供了滤波器分析、滤波器实现、模拟滤波器设计、模拟滤波器变换、滤波器离散化、线性系统变换等方面的函数命令。应用MATLAB作数值计算，针对当自变量的信号“时间”或“频率”取连续值或离散值时形成的五种情况作出相应的计算及频谱曲线。 关键词：傅里叶变换；周期；频率；MATLAB。 引言 MATLAB 是国际上公认的优秀、可靠的科学计算和仿真的标准软件。它在许多科学领域中成为计算机辅助设计和分析、算法研究的基本工具。在傅里叶变换中，应用MATLAB作数值计算，可以很容易的作出相对应的计算及频谱曲线，大大提高了计算效率。 傅里叶变换 傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量之间的某种变化关系。所以，当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了几种不同形式的傅里叶变换，如表 1傅里叶变换形式所示。 表 1傅里叶变换形式 时域信号特性 频率特性 变换名称 非周期连续信号 连续频谱 傅里叶变换 周期性连续信号 离散频谱 傅里叶级数 非周期连续信号 连续频谱 序列傅里叶变换 周期性离散信号 周期性离散频谱 离散傅里叶级数 离散信号（有限样本点） 周期性离散频谱 离散傅里叶变换 连续时间、连续频率福利叶变换 这就是连续时间非周期信号x(t)福利叶变换关系，所得到的是连续的非周期的频率密集度函数.其变换对为： 正变换： （1） 逆变换： （2） 例1 分析如图 1时域信号及其频谱图 所示的矩形脉冲信号（非周期信号）在=-40~40rad/s区间的频谱。 （a）采样密 （b）采样稀，有频率泄漏 图 1时域信号及其频谱图 根据离散时间信号的Z变换定义： ，矩形脉冲信号的频谱为： 按MATLAB作数值计算的要求，它不能计算无限区间，根据信号波形的情况，将积分上下限定为0~10s，并将t分成N等份，用求和代替积分。这样， （3） 可写为 （4） 这说明求和的问题可以用行向量乘以列向量来实现，式中是t的增量，在程序中用dt表示。由于求一系列不同（程序中用用W表示）处的F值，都用同一公式，这就可以利用matlab中的元素群运算能力。类似地也可以得到傅里叶逆变换的数值计算式。 MATLAB源程序如下： clear,tf=10; N=input; dt=10/N;t=[1:N]*dt; f=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)]; wf=input; Nf=input; w1=linspace(0,wf,Nf) ;dw=wf/(Nf-1); F1=f*exp(-j*t*w1)*dt; w=[-fliplr(w1),w1(2:Nf)]; F=[fliplr(F1),F1(2:Nf)]; subplot(1,2,1), plot(t,f,linewidth,1.5), grid on set(gcf,color,w) axis([0,10,0,1.1]) subplot(1,2,2), plot(w,abs(F),linewidth,1.5) grid on 程序运行结果：若时间分隔的点数N=256，需求得频率宽度wf=40，需求的频率点数Nf=64，所得结果所示。若取时间分隔的点数N=64，频数宽度=40，频谱点数Nf=256，则得结果所示。此时采取采样周期为dt=10/64s，对应的采样频率fs=1/dt=6.4Hz或=40.2124rad/s。从图中可以看出高频频谱以/2处为基准线的转迭，出现频率泄露。 连续时间、离散频率傅里叶级数 设代表一个周期为的周期性连续时间函数，课展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，是离散频率的非周期函数，和组成的变换对为： 正变换： （5） 逆变换： （6） 式中，为离散频率相邻两谱线之间的频率间隔，为谐波序号。 离散时间、连续频率序列傅里叶变换 如果信号是非周期且绝对可和，则它的离散时间傅里叶变换对数为： 正变换： （7） 逆变换： （8） 在时域上市离散序列，而在频域上是连续函数，即具有连续的频谱。这里的为数字频域，它与模拟角