行列式的一些的应用.docVIP

*§1.6 行列式的一些应用 由于求解n(n线性方程组的需要，产生了行列式的理论，但行列式的应用并不仅限于此. 本节举几个例子说明行列式的其它应用. 例1 设A(x1, y1), B(x2, y2)是平面上两个不同的点，那么过A，B的直线方程是 ＝0. a1x＋a2y＋a3＝0 (1) 这里a1 , a2 , a3不全为零. 由于A，B在直线上，故它们满足方程(1)，代入后得 (2) 将(1)与(2)合并，得到方程组 (3) 这是一个关于待定系数a1, a2, a3的齐次线性方程组，由于a1, a2, a3不全为零，所以(3)有非零解. 于是方程组的系数行列式为零，即 ＝0. (4) (4)，反之，满足方程(4)的每一点必在经过A、B两点的直线上. 因此，方程(4)是通过平面上两定点A(x1, y1), B(x2, y2)的直线方程. 类似地有 例2 设通过几何空间中不在同一直线上三点(x1, y1, z1), (x2, y2, z2)与(x3, y3, z3)的平面方程为 a1x＋a2y＋a3z＋a4＝0. a1, a2, a3, a4的齐次线性方程组，它有非零解，因此系数行列式应等于零，即 ＝0. (5) . 例3 设 L1: (x＋(y＋(＝0, L2: (x＋(y＋(＝0, L3: (x＋(y＋(＝0, L1, L2, L3交于一点，试证 (＋(＋(＝0. (a, b)，则 (6) 由于齐次线性方程组 (7) 有非零解x＝a, y＝b, z＝1 D＝＝0. D＝＝＝((＋(＋() ＝((＋(＋() ＝((＋(＋()[(((()(((()＋(((()2]＝((＋(＋()[(((()2＋(((()2＋(((()2]. L1, L2, L3是三条不同的直线，所以 (((, (((, ((( 不全为零. 且均为实数，因此，由D＝0 (＋(＋(＝0. 4 已知 ＝a3＋b3＋c3(3abc, ＝＝(a＋b＋c) ＝(a＋b＋c) ＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2(ab(ac(bc). a3＋b3＋c3(3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2(ab (ac(bc). 5 分解因式 a2c＋ab2＋bc2(ac2(b2c(a2b. ＝(bc2(b2c) ( (ac2( a2c)＋(ab2(a2b) ＝(＋＝ ＝＝(b(a)(c(a)(c(b). () 所以 a2c＋ab2＋bc2(ac2(b2c(a2b＝(b(a)(c(a)(c(b).6 “杨辉三角形”中的行列式问题. 考察下面的行列式 D＝, 它的结果等于1，同时不难发现 ＝1, ＝1, ＝1. . 经观察，发现这些行列式的元素从某一角度看构成“杨辉三角”的一部分，现表示如下： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … 规定＝1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 于是，猜想有如下命题： Dn＝＝1. . 我们用数学归纳法来证明. (1)D1＝||＝1 (2)假设Dk＝1 Dk＝＝1. Dk＋1Dk＋1＝. 从最后一行起，每一行减去相邻的上一行，并根据组合数的性质(＝得 Dk＋1＝. 按照第1列展开Dk＋1 Dk＋1＝ 从最后一列起，每一列减去它相邻的前1列，并根据组合数的性质(＝得 Dk＋1＝＝Dk＝1. Dn＝1.