3. 完成一个数学建模活动的案例。.doc

3． 完成一个数学建模活动的案例。 一、教学目标分析 1、基础知识目标：（1）通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；（2）根据解析式作出图象并研究性质；（3）体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；（4）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用， 例1、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|－|，当地夏半年取正值，冬半年取负值。如果北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？ 解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不 小于MC，根据太阳高度的定义，有 ∠C＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′ MC＝MC＝＝2h0 即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。 例2、（海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高． 解：在中，．由正弦定理得． 所以． 在中，． 例3、某观测站C在城A的南20?西的方向上,由A城出发有一条公路,走向是南40?东,在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后,到达D处,此时C、D间距离为21千米,问这人还需走多少千米到达A城？ 【解析】根据题意得右图,其中BC=31千米,BD=20千米,CD=21千米,∠CAB=.设∠ACD = α,∠CDB = β .在△CDB中,由余弦定理得： ， ． ． 在△ACD中,由正弦定理得：． 此人还得走15千米到达A城． 答: 此人还得走15千米到达A城． 点评 运用解三角形的知识解决实际问题时,关键是设角以及如何把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之． 例4、受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=((t),下面是该港口在某季节每天水深的数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察, y=((t)曲线可以近似地看作函数y=Asinωt+k的图象 ①根据以上数据,求出函数y=((t)的近似表达式; ②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m,如果该船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间) 解:①y=3sint+10; ②y=3sint+10≥5+6.5,则1≤t≤5或13≤t≤17,则最多可停留16个小时.