2015硕士研究生入学考试数学一真题及解析.doc

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析 已知极限，其中k，c为常数，且，则（） A. B. C. D. 答案（D） 解析：用洛必达法则 因此，即 2.曲面在点处的切平面方程为（ ） A. B. C. D. 答案（A） 解析：法向量 切平面的方程是：，即。 3.设，，令，则（ ） A . B. C. D. 答案（C） 解析：根据题意，将函数在展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓： ，它的傅里叶级数为，它是以2为周期的，则当且在处连续时，。。 4.设，，，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则 A. B. C. D 答案（D） 解析：由格林公式， ,在内，因此 在外，所以 5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 6.矩阵与相似的充分必要条件为（ ） A. B. 为任意常数 C. D. 为任意常数 7.设是随机变量，且，，，，则（ ） A. B. C. D 8.设随机变量,，给定，常数c满足，则 ( ) （9）设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则＝　 。 (10)已知y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=　　。 （11）设　　。 （12）　　　。 （13）设A=(aij)是3阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝　　　。 （14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}= 三．解答题： （15）（本题满分10分） 计算，其中f(x)＝ 解：使用分部积分法和换元积分法 (16)(本题10分) 设数列｛an｝满足条件：S（x）是幂级数 （1）证明： （2）求 (I)证明：由题意得 即 (II) 解：为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为从而 ，于是 ， 由，得 所以 （17）（本题满分10分） 求函数. 解答：先求驻点，令 ，解得 为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数 在点处， 因为,所以不是极值点。 类似的，在点处， 因为，所以是极小值点，极小值为 (18)(本题满分10分) 设奇函数f(x)在上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： （I）存在 （Ⅱ）存在 19.(本题满分10分) 设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为。 求曲面的方程； 求的形心坐标。 解： 20.（本题满分11分） 设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。 第20题 解：令，则 ， 则由得 ，此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是 所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。 又 , 所以 21.（本题满分11分） 设二次型，记，。 证明二次型f对应的矩阵为； 若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。 证明： 22.（本题满分11分） 设随机变量X的概率密度为令随机变量 求Y的分布函数； 求概率. 23.(本题满分11分) 设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本。 求的矩估计量； 求的最大似然估计量。