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了解我的数学教学 第1节：我在教什么 请给我一个“知识筛”吧！ “无限地做题，为了什么？听说，高明的老师备着一个“知识筛”，能把稗谷筛掉，留下‘纯知识’，我发誓，我一定要学好数学，请老师给我一个‘知识筛’吧！” ——摘自一位中学生的信 科学在进步，社会在发展，这一切都与数学息息相关。所以我们的学生必须学数学，事实上，当他们走进校门的时候，也都盼望着能够学好数学，他们的愿望在数学课堂里得到满足了吗？ 我们天天都在教数学，我们希望“教给”学生什么——教给他们数学知识、数学方法，发展他们的数学能力、培养他们对数学的良好情感与态度……我们的愿望在数学课堂实现了吗？ 首先需要反思的是：我们正在“教给”他们什么？ ⒈ 一些课例 看几个实际课例 课例 am÷an=am-n（mn，m、nN） 这是一堂真实的观摩课，教师用1.5分钟（听课人描述：整整９０秒）完成新课，立即讲解并补充大量例题．师生与许多听课者都比较满意（题型多，题型新，密度大）．此时，离开下课还有一分钟，为了课堂环节的完整，教师请一位同学将上述运算公式读一遍． 岂知，此地霉季长，室内人又多，空气立即凝结成水．事有凑巧，一串水珠直穿等式右端的“一”号，于是公式呈 am÷an=am+n（mn，m、nN） 学生也就说：同底数幂相除，指数相加——令人啼笑皆非。 课例虽特殊，但现象却发人深省：如果把数学作为一种结果告诉学生、把数学教学作为一种技能熟练的工作来进行，结果会如何呢？ 想一想杂技团表演的“抛盘子”节目： 演员甲手执５个盘子．抛一个给演员乙，乙立即用双手夹住．刚夹住第一个，第二个又到了，于是演员乙展开双手再夹住第二个．刚夹牢前两个，第三个又到……如此下去，连夹５个，一个不落． 演员是有这种本领的，因为他是演员． 如果为了赶进度，在数学教学采用类似的“抛”知识办法，其结果就是许多学生手上自始至终只有一个“盘子”——接一个，丢一个，甚至连一个也没有（全丢了）． 课例 零指数与负整数指数幂的概念 ⑴ 复习旧课 教师出示正整数指数幂的概念极其五条运算性质（内容略） ⑵ 引入新课 师：同学们，我们已经了解了关于正整数指数幂及其运算的有关性质。现在请大家打开课本，仔细阅读课本“零指数”这一段，并请一个同学回答我下面提出的问题：为什么要引进零指数，并且规定 a =1？ 生：为了使被除式的指数等于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能适用，我们规定a =1。（a 0） （笔者注：基本按照课本内容叙述） 师：答的很好！这说明为了把 aa=a 这一运算性质扩大到包括m=n 时的情况，我们要作一个规定，即a =1 (a0)（笔者注：本质上是教师与课本的对话）。 谁能说一说这个规定的意义？ 生：它的意义是任何数的零次幂等于1。 师：是这样吗？0 也等于1吗？ 生：啊，不对了，a应该是任何不等于零的数。 师：更正确的说法是“任何不等于零的实数的零次幂等于1”。 （笔者注：这种直接给出结论的“反问式”提法是否有益于学生的真正理解？） ⑶ 验证性质 师：我们看到，在规定了a =1 (a0)以后，使aa=a 对m=n的情况也适用了。现在请同学们考虑一下，规定了a =1 (a0) 以后，正整数幂的其它几条运算性质是否对m或n为零时同样也成立呢？对照这里（教师手指复习的内容—有暗示之嫌？）我们就可以做这个工作了。不过，先要想一想应当分几种情况来考虑（笔者注：指m或n为零时）。 （若时间不够，教师可以直接给出答案，让学生课后验算结论的正确性） ⑷ 定义负整数指数幂 师：刚才我们充分讨论了零指数幂的定义和运算性质。同学们能否用类似的方法去定义负整数指数幂。即当 a 0，p为正整数时，a =? （学生讨论） 生（众）：a= (a0，p为正整数)。 ⑸ 巩固练习 类似于：(x-1)=1 成立的条件是___; (-3)=___; (x y)()=___;的练习题。 ⑹ 小结 简要重复本结课内容。 课例分析：这是一节常见的新授课，从中我们可以看到一个较为明确的学习程式——首先是模仿：事实上，教学的第一步——复习旧课，就给出了供学生模仿的对象，或者说“暗示”学生模仿上一节课的相关内容去获得新的概念；教学的第二，三，四步基本上是“模仿与记忆”，其中包括：直接引用书本上的答案，教师纠正学生的答案——不管学生此时是否有明确“实数”概念的需要，只要他们记住“最精确”的答案就行了。这些似乎可以看作是教师在与课本对话，而学生则是旁观者，模仿者；模仿上一节课的相