花蕾--平面几何.docVIP

平 面 几 何 江苏省启东中学——花蕾 一、重要定理： 定理1 (Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立) Ptolemy定理的推广(广义Ptolemy定理)：对于一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立． 证明Ptolemy定理．P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点 (不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC． 题2．设A1A2A3…A7是圆内接正七边形，求证： =+．(1987年第二十一届全苏) 题3．（2004年全国数学联赛）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长． 题4．（2008年全国数学联赛）如图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令． （1）求证：当达到最小值时，四点共圆； （2）设是外接圆的上一点，满足：，，，又是的切线，，求的最小值． 定理2（圆幂定理） 相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 上述三个定理统称为圆幂定理，它们的发现距今已有两千多年的历史，它们有下面的同一形式： 圆幂定理 过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段 的积相等，即它们的积为定值. 这里切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为d，圆半径为r，则这个定值为|d2-r2|. 当定点在圆内时，d2-r20，|d2-r2|等于过定点的最小弦的一半的平方； 当定点在圆上时，d2-r2=0； 当定点在圆外时，d2-r20，d2-r2等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地，我们把d2-r2称为定点对于圆的幂. 一般地我们有如下结论：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”． 对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 题5．已知AB切⊙O于B，M为AB的中点，过M作⊙O的割线MD交⊙O于C、D两点，连AC并延长交⊙O于E，连AD交⊙O于F.求证：EF∥AB. 题6．如图,ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别切⊙O于P、Q.求证：EP2＋FQ2＝EF2. 定理3(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 ··=1．．定理4 (Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，X、Y、Z共线的充要条件是 ··=1．． 题8设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于．求证：．题10．(评委会，土耳其，1995)设(ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于D、E、F，X是(ABC内的一点，(XBC的内切圆也在点D处与BC相切，并与CX、XB分别切于点Y、Z，证明，EFZY是圆内接四边形． 定理5.设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB2(PQ⊥AB． 题11.(1997年全国高中理科实验班招生考试)如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是⊙O的一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长. 题12.以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个顶点A、C，且与AB、BC两边分别相交于K、N两点，⊿ABC和⊿KBN的两外接圆交于B、M两点．证明：∠OMB为直角．(1985年第26届国际数学竞赛） 二、三角形的五心： 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心． 4、三角形的垂心三角形的三条线交于一点,这点称为三角形的心． 5、三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．三角形都有三个旁切圆．作点P关于MN的对称点P.试证：P点在△ABC外接圆上. 题14.四边形ABCD