微积分 经济管理 教学课件 作者 彭红军 张伟 李媛等编第二章 极限与连续 第3节 无穷小量与无穷大量.pptVIP

第三节 无穷小量与无穷大量 无穷小量 无穷大量 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的运算性质 无穷小量和一般极限的关系 一、无穷小量 定理1 * 例如, 是x??时的无穷小； 再例如, 则称x – 1是x?1时的无穷小. 注意：无穷小不是一个很小的数, 但0是无穷小. 定义1 若 时 , 函数 则称函数 为 时的无穷小量 . 二、 无穷大量 定义2 . 若 时 , 函数 则称函数 为 时的无穷大量 . 注意: 1. 无穷大量不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 无穷大量是极限不存在的一种情形，这里只是借用了极限记号而已。 例如: 3. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 无界， 定义3 如果 ，则直线 是函数 的图形的铅直渐近线. 在自变量的某个变化过程中, 如果 f (x)为无穷 大, 为无穷小; 反之, 若f (x)为无穷小, 且f (x) ? 0, 是无穷大. 例如, 在x?0时， 是无穷大, 是无穷小. 三、无穷小量与无穷大量的关系（知道就行） 据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论. 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 四、无穷小量的运算性质 时， 是无穷小，但 n个 之和为1,不是无穷小. 注　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小！ 例如， 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 例1 求 解 因为 由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得 *