微积分 经济管理 教学课件 作者 彭红军 张伟 李媛等编第二章 极限与连续 第2节 函数的极限.pptVIP

三、函数极限的性质 * 第二节 函数的极限  当 x 趋向于一个特殊的值a，对应的函数 f(x) 的值会发生什么样的变化？ 定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 则称常数A是函数 f(x) 当x 趋向于 x0 时的极限，记作 时, 有 若当 或 也称当 时, f(x)收敛于A。 例1. 观察分析 1 -1 0 x y 1 定理1： 如果 y =f (x) 是基本初等函数，x0是其定义域内一点，则 例如 例2. 观察分析 分析: 将x=1代入，得到的是 分母为0，怎么办？ 例3. 观察分析 当 时，若函数f(x)极限不存在，称为发散。 1 0 x y 1 二、单侧极限 为左极限 ； 为右极限 。 定理2. 如果 x 只从 x0 的某一侧逼近 x0 ，称 例4 设函数 判断当 时 f (x)极限是否存在. 解 因为 所以 不存在. 解: 例5 求 例6. 设函数 且 存在,求 a . 解: 定理3(唯一性) 函数极限存在, 则极限值唯一. 定理4(局部有界性) 例如,函数y = f (x)=3x – 2, 则当 0 ? | x – 2 | ? 1时, f (x) ? 5. 但 f (x)在其定义域(??, ??)内无界. 有界。 设函数 f (x)在 x 的某种变化 趋势下，以A为极限，则当x 变化至某一范围内，f(x) *