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第一节 数列的极限 一、数列的概念与性质 二、数列的极限 三、收敛数列的性质 第二章 极限与连续 极限思想是微积分的基本思想,微积分的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的. 引 按照下列规律: ,…, 无限的写下去,这些数的尽头是什么? ,… 这是数列的极限的问题,本节研究的主要内容 就是数列的极限. 1. 数列的概念 定义1 按照一定法则依次排列的一列无穷多个数 称为无穷数列,简称数列, 记为 数列中的每一个数称为数列的项, 第n项 称为 数列的一般项或通项. 例如 数列的几何意义:数列 动点, 它依次取数轴上的点 可以看作数轴上的一个 ,若存在正数 ,使得 恒有 则称数列 有界,否则,称为无界. , , , 2. 数列的性质 (1) 有界性 定义2 对数列 一切自然数n, 成立, 例如,数列 都是有界数列;而数列 是无界数列. 定义3 若数列 的项 则称此数列是单调增加的;反之若 例如,数列 数列 单调减少;而数列 无单调性. (2) 单调性 随着项数 n 的增大而 增大,即满足 则称此数列是单调减少的. 单调增加或单调减少的数列,统称为单调数列。 单调增加; 观察下列数列的变化趋势: 在-1 与 1 之间跳动 观察可见, 的变化趋势只有两种: 不是无限地接近 某个确定的常数, 就是不接近于任何确定的常数。 由此, 得到数列极限的初步定义如下: 定义4 若当 时,一般项 无限地接近于某个 则称 a 为数列 的极限,记作 或 我们称有极限的数列为收敛数列, (读作 n 趋向无穷大时, 若当 时, 确定的常数 a , 数列 没有极限。 无极限的数列为发散数列。 趋向于 ). 不接近于任何确定常数 ,则称 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 即 或 则称该数列 的极限为 a , 若数列 为了精确的反映 接近 a 的程度与 n 之间的关系给出 定义5 为具体的说明 几何解释 : 考察一般项为 数列, 当 n 无限增大时 xn 与 2的距离无限的小. 当 n N 时, 总有 欲使 由 取 只要 即从10001 项起以后的所有点 与 2 的距离小于 即有 取 只要 即从101 项起以后的所有点 与 2 的距离小于 即有 例1 证明数列 的极限为1 证 对?? ? 0, 要使|xn –1|??, 只要 故 则当n ? N 时, 有 即 例2 证明 证 对?? ? 0 , 要使 只要 故 取 则当 n N 时,有 即 例3 设|q|? 1, 证明 证 对?? ? 0 , 要使 只要 故 取 则当 n N 时,就有 即 定理1(极限的唯一性) 收敛数列的极限一定唯一. 由定理1知, 数列{(– 1)n}是发散的. 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 则存在正数M, 使得对所有的n , 都有|xn| ? M. 证 设 因此, 对? =1, ?N ? 0, 当n ? N时, 有 | xn –a| ? 1 故 | xn | ? |a| +1 取 M = max{| x1 |, | x2 |, ··· , | xN |, |a| +1}, 则对所有的n, 有 |xn| ? M. 注意:有界数 列不一定收敛 例xn= (– 1)n
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