微积分 经管类 下册 教学课件 作者 顾聪 姜永艳 9.7 习题课.pptVIP

目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的解法 习题课 一、一阶微分方程求解 二、两类二阶微分方程的解法 第 9 章 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 代换因变量 代换某组合式 三个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 代换自变量 例1. 求下列方程的通解 提示: (1) 故为分离变量方程: 通解 (2) 这是一个齐次方程 ， 令 y = u x ,化为分离变量方程: 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 . 化为 例2. 求下列方程的通解: 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (伯努利方程) (分离变量方程) 原方程化为 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x – 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2003考研) (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 二、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 令 令 逐次积分求解 2. 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 欧拉方程 特征根 : 例4. 求微分方程 提示: 故通解为 满足条件 解满足 处连续且可微的解. 设特解 : 代入方程定 A, B, 得 得 处的衔接条件可知, 解满足 故所求解为 其通解: 定解问题的解: 例5. 且满足方程 提示: 则 问题化为解初值问题: 最后求得 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案: 的解. 例6. 设函数 内具有连续二阶导 (1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且 解: 上式两端对 x 求导, 得 (1) 由反函数的导数公式知 (2003考研) 代入原微分方程得 ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 设①的特解为 代入①得 A＝0, 从而得①的通解: 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 * * * * * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *