微积分 经管类 下册 教学课件 作者 顾聪 姜永艳 7.4 习题课.pptVIP

习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 第 7 章 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 — 累次积分法 例1. 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 4. 利用扩展积分域进行计算 则 提示: 如图 , 由对称性知 在 上是关于 y 的奇函数 在 上是关于 x 的偶函数 A 例2. 例3. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 由已知可知 由此解得 问接上去的均匀矩形薄片 即有 薄片的重心恰好落在圆心上 , 例4. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 例5. 计算二重积分 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为圆域 把D 分成 作辅助线 (2) 提示: 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线 将D 分成 例6. 求抛物线 所围区域 D 的面积A . 解:如图所示 注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 例7. 交换积分顺序计算 解. 积分域如图. 例8. 证明 证:左端 = 右端 = * * * *