微积分 经管类 下册 教学课件 作者 顾聪 姜永艳 7.27.3二重积分的计算.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第 2 节 第 3 节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第 7 章 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 记作 曲顶柱体的体积 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 记作 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X - 型区域 则 若D为Y - 型区域 则 一、利用直角坐标计算二重积分 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X - 型域或Y - 型域 , 则 例1. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 例2. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例3. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X - 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 例4. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y - 型区域 , 则 例5. 交换积分顺序计算 解. 积分域如图. 例6. 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 例7. 求抛物线 所围区域 D 的面积A . 解:如图所示 注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 例8. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 例9. 证明 证:左端 = 右端 = 二、利用极坐标计算二重积分 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 即 设 则 特别, 对 此时若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 例11. 计算 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 注: 利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, ① 故①式成立 . 又 例7. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 例12. 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 内容小结 (1) 二重积分化为二次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 则 (2) 一般换元公式 且 则 极坐标系情形: 若积分区域为 在变换 下 (3) 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积分好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 * * * 目录 上页 下页 返回 结束 * * *